Cantor集、连续延拓定理

Cantor集

对[0,1]区间三等分, 去掉中间一个开区间, 然后对留下的两个闭区间继续三等分,去掉中间的开区间, 不断做下去, 最后留下来的点集称为Cantor三分集, 记为\(C\).

它的性质

(1) 分割点一定在Cantor集中,
(2) \(C\)的"长度"为0，去掉的区间长度和$$\sum^{{\infty}_{n=1}\frac{1}{3}n}\cdot 2^{n-1}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{2}{3}}=1.$$
(3) \(C\)没有内点
证明：对任意\(x\in C\), \(x\)必被含于在第\(n\)次时留下的\(2^n\)个长为\(1/3^n\)的互不相交的某个闭区间\(I^{(n)}_{i}\)中, $$\forall\varepsilon>0, 1/3^n<\varepsilon, I^{(n)}_{i}\subset B(x,\varepsilon),$$但由Cantor集的做法，要继续三等分去掉中间的一个开区间, 从而\(B(x,\varepsilon)\)内至少有一点不属于\(C\), 所以\(x\)不可能是\(C\)的内点.
(4) \(C\)中的点都是聚点, 从而没有孤立点.

数的进制

十进制小数：相应于 对[0,1]十等分

二进制小数：相应于 对[0,1]二等分

说明：对应于[0,1]十等分的端点有两种表示，如$$0.2000000...,~~~0.1999999...$$(十进制小数)
(5) \(C\)的基数为\(\aleph\),(利用三进制证明)
证明思路：把[0,1]区间中的点都写成三进制小数, 则Cantor集的做法中去掉的点为小数位出现1的数的全体, 从而Cantor集为小数位只是0，2的点的全体，做对应

\[X\in P\to x=\sum^{\infty}_{k=1}\frac{a_k}{3^k}(a_k=0,2). \]

说明：三等分的端点有必要特殊考虑, 因为它有两种表示, $$0.100000...=0.022222...,~~~0.200000...=0.122222...$$
对\(x\in C\), 令\(A=\{k|a_k=0\},\) 则\(A\subset\mathbb{N}_{+}.\)
对应关系\(x\to A\)构成了\(C\)到\(P(\mathbb{N}_{+})\)的一一映射.

第一章 集合与点集

第六节 点集间的距离

定义1.16 设\(E\subset\mathbb{R}^{n}\), \(f\)是定义在\(E\)上的实值函数, \(x_0\in E\), 若\(\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\) 使得\(x\in E\cap B(x_0,\delta)\)时候，\(|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.\) 称为\(f\)在\(x_0\)点处连续.

注：若\(f\)在\(E\)上连续, 而\(E_0\subset E\), 则\(f\)在\(E_0\)连续.

定理1.22 若\(E_1,E_2\)是闭集, \(f\)定义于\(E_1\cup E_2\)上, 且分别在\(E_1,E_2\)上连续, 则\(f\)相对于\(E_1\cup E_2\)也一定连续.

证明：若\(x\in E_1\cup E_2\). 不妨设它为聚点, 因为\(E_1,E_2\)为闭集, 则\(E_1\cup E_2\)内任一以\(x_0\)为极限的点列\(\{y_k\}\)只能有两种情况:
其一, 从某一项起, 全部\(y_k\)属于\(E_1\)或\(E_2\)(相应\(x_0\in E_1\)或\(x_0\in E_2\).)容易证明.
其二, \(\{y_k\}\)由两个分别属于\(E_1,E_2\)的无穷子列组成, 此时, \(x_0\in E_1\cup E_2\), 因为$$\lim\limits_{x\to x_0, x\in E_1}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0,x\in E_2}=f(x_0),$$
因此\(\lim\limits_{k\to\infty} f(y_k)=f(x_0)\).

定理1.23 设\(f\)是\(\mathbb{R}^n\)中有界闭集\(E\)上的连续函数, 则

(1) \(f\)在\(E\)上有界
(2) \(f\)在\(E\)上取得最大值和最小值
(3) \(f\)在\(E\)上一致连续

定理1.24 设\(E\subset\mathbb{R}^n, f_1,f_2,\cdots\)是\(E\)上的连续函数列, 且\(k\to\infty\)时, \(\{f_k\}\)在\(E\)上一致收敛到函数\(f\), 则\(f\)在\(E\)上连续.

例20 对于任意的\(x_0\in\mathbb{R}^n, E\subset\mathbb{R}^n\), 定义\(x_0\)到\(E\)的距离为\(d(x_0,E)=\inf\{d(x_0,y)|y\in E\}\).

证明：(1)若\(E\)是闭集, 则存在\(y_0\in E\), 使得\(d(x_0,y_0)=d(x_0,E).\) 对于任意点集\(A, B\), 定义\(A, B\)之间的距离为\(d(A,B)=\inf\{d(x,y)|x\in A,y\in B\}.\)
证明：(2)若\(A\)和\(B\)都是闭集, 其中至少有一个有界, 则存在\(x_0\in A, y_0\in B\), 使得\(d(x_0,y_0)=d(A,B).\)

集合的简单写法：$${x\in E|f(x)>a}:=E(f>a).$$

定理1.25 若函数\(f\)在\(E\)上连续, 则对任意的实数\(a\), 存在开集\(G_a\subset\mathbb{R}^n\), 使得\(E(f>a)=G_a\cap E.\) 也存在开集\(H_a\subset\mathbb{R}^n\), 使得\(E(f<a)=H_a\cap E.\)

证明：对任意\(x\in E(f>a)\), 由于\(f\)在\(E\)上的点\(x\)连续, 必存在\(\delta=\delta(x,a)>0,\) 使得\(y\in E\cap B(x,\delta)\)时, \(f(y)>a.\)因此若令\(G_a=\bigcup_{x\in E(f>a)} B(x,\delta)\), 则\(G_a\)是开集, 并且\(E(f>a)=G_a\cap E.\)
同理可证, \(H_a\).

推论1 若函数\(f\)在\(E\)上连续, 则对任意的实数\(a\), 存在闭集\(F_a\subset\mathbb{R}^n\), 使得\(E(f\geq a)=F_a\cap E.\) 也存在开集\(K_a\subset\mathbb{R}^n\), 使得\(E(f\leq a)=K_a\cap E.\)

推论2 若\(f\)在开集\(E\)连续, 则对于任意实数\(a\), \(E(f>a)\)和\(E(f<a)\)是开集, 若函数\(f\)在闭集\(E\)上连续, 则对于任意实数\(a\), \(E(f\geq a), E(f\leq a)\)是闭集.

定理1.26 若\(f\)是\(\mathbb{R}^n\)的函数, 则对于任意实数\(a\), \(E(f>a), E(f<a)\)总是开集, 则\(f\)在\(\mathbb{R}^n\)上连续. (开集与开集的交是开集，闭集与闭集的交为闭集）

连续延拓定理

引理：若\(F_1,F_2\)是\(\mathbb{R}^n\)中的两个不交的非空闭集, 则有连续函数\(f(x)\), 使得

(1) \(0\leq f(x)\leq 1(x\in\mathbb{R}^n)\);
(2) \(F_1=\{x: f(x)=1\}, F_2=\{x: f(x)=0\}.\)
证明：构造函数$$f(x)=\frac{d(x,F_2)}{d(x,F_1)+d(x,F_2)}, x\in\mathbb{R}^n.$$

定理1.27 连续延拓定理：若\(F\)是\(\mathbb{R}^n\)中的闭集, \(f(x)\)是\(F\)上的连续函数, 且\(|f(x)|\leq M(x\in F),\) 则存在\(\mathbb{R}^n\)上的连续函数\(g(x)\)满足

\[|g(x)|\leq M, g(x)=f(x), x\in F. \]

证明：把\(F\)分成三个点集：\(A=\{x\in F:M/3\leq f(x)\leq M\},B=\{x\in F:-M\leq f(x)\leq -M/3\},C=\{x\in F\):其他\(\}.\)
并作函数$$g_1(x)=\frac{M}{3}\cdot\frac{d(x,B)-d(x,A)}{d(x,B)+d(x,A)},x\in\mathbb{R}^n.$$