测度与纲

实轴上的测度与纲

首先介绍有理数集是可数集，

Cantor：对任意实数列\(\{a_{n}\}\), 对任意区间 \(I\), 存在一个点 \(p\in I\), 使得\(p\neq a_{n}, \forall n\).

说明，没有一个区间是可数集，将这个定理的证明稍微改变，就变成实轴上贝尔纲定理的证明。
给出稠密的定义，无处稠密集，第一纲集，第二纲集。

Baire：任一实轴上的第一纲集的补集是稠密集, 没有任一区间是第一纲集, 任一列稠密开集的交集是稠密集.

给出测度的定义，零测，零集。
\(\sigma\)-理想的定义，第一纲集类，零集类。是两个例子，都包含可数集类。

Borel：如果一个有限或无限的区间列\(\{I_{n}\}\)覆盖了一个区间\(I\), 那么\(\sum |I_{n}|\geq|I|\).

实轴可以被分解成两个补集\(A\)和\(B\), 使得, \(A\)是第一纲集, \(B\)是零测集.

两个直观上小的集合的并得到整个实直线。

刘维尔数

第一节的三个定理都是存在性定理，这节我们给出构造。
首先考虑超越数的存在，刘维尔数，刘维尔数集。
刘维尔数集\(E\)在测度意义下小，在纲意义下大。给出了一个实直线的分割，\(E\cup E^c=\mathbb{R}\)，前者零测，后者第一纲。
给出豪斯多夫零测的定义，通常意义下的点集的测度是1-豪斯多夫测度。\(E\)是\(s\)-豪斯多夫零测，\(\forall s>0\).