复数、复数列和级数、拓扑性质

复变函数

复数, 复数序列和级数

复数相等：$z_{1}=x_{1}+iy_{1}=z_{2}=x_{2}+iy_{2}, z_{1}=z_{2}\Longleftrightarrow x_{1}=x_{2}, y_{1}=y_{2}.$
共轭：$z=x+iy, \bar{z}=x-iy$.
模或长度：$|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$
加法：$z_{1}+z_{2}=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2}).$
乘法：$z_{1}\cdot z_{2}=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}).$
归纳定义：$z^n=z\cdot z^{n-1}.$
$z\neq0$时, 定义$z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}.$ 相应地归纳, $z^{-n}=z^{-1}\cdot z^{-(n-1)}$.
减法和除法：可视作逆运算.
运算规律：交换律, 结合律, 分配律.
复数性质：
(1) $\bar{\bar{z}}=z, \bar{z_{1}+z_{2}}=\bar{z_{1}}+\bar{z_{2}}.$
(2) $\bar{z_{1}z_{2}}=\bar{z_{1}}\bar{z_{2}}, \bar{\frac{z_{1}}{z_{2}}}=\frac{\bar{z_{1}}}{\bar{z_{2}}}. (z_{2}\neq 0).$
(3) $|z|^2=z\bar{z}, Re z=\frac{z+\bar{z}}{2}, Im z=\frac{z-\bar{z}}{2}.$
复数不等式:
(1) $|x|=|Re z|\leq |z|; |y|=|Im z|\leq |z|.$
(2) $|z|\leq |Re z|+|Im z|.$
(3) 三角不等式. $|z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|$, 推广到：$|z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}|\leq |z_{1}|+\cdots +|z_{n}|.$
(4) $\big||z_{1}|-|z_{2}|\big|\leq |z_{1}-z_{2}|$.
(5) $|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|, |\bar{z}|=|z|, |\frac{z_{1}}{z_{2}}|=\frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}.$
在全体复数集上引进上述代数结构后, 成为复数域, 记作$\mathbb{C}$, 可看作由实数域$\mathbb{R}$添加一个虚数单位扩张得到.
从一维欧氏空间扩充到二维欧氏平面, 在$\mathbb{R}^2=\{(x,y):x,y\in \mathbb{R}\}$中引入乘法运算: $(x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}).$ 使得平面$\mathbb{R}^2$上的点与全体复数间一一对应. 复数和平面上的点不加区别, 这样表示复数$x+iy$的平面称为复平面, 仍然用$\mathbb{C}$表示.
映射：$\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{R}^2, ~~~~~~ x+iy\mapsto (x,y)$. 从而可以用平面的术语描述复平面.
复数用$\mathbb{C}$上的自由向量来表示, $|z_{1}-z_{2}|$表示两点之间的距离, $\sqrt{(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2}$.
辐角：实轴正向与非零向量$z=x+iy$之间的夹角称为$z$的辐角.
辐角正负：由正实轴按逆时针方向转到$\overrightarrow{OP}$为正, 顺时针为负.
辐角全体记作$Arg z(z\neq 0)$. 辐角有无穷多个, 其中任意两个相差$2\pi$的整数倍, 其中有且只有一个辐角$\theta$满足$-\pi<\theta\leq \pi$, 记作$\arg z$, 称之为$z$的主辐角, 或$Arg z$的主值. 故

\[Arg z=\{arg z+2k\pi:k\in \mathbb{Z}\}. \]

注：有时也用$\arg z$表示$Arg z$中任一确定的值, 联系上下文.
$z=0$时, $Arg z$无意义.
给定任一复数$z\neq0$, 模$|z|$, 辐角$\theta$, 则其实部$Re z=|z|\cos \theta, Im z=|z|\sin \theta$.
$z=|z|\cos \theta+i|z|\sin \theta$, 称为复数$z$的三角表示式.
如何求得辐角主值？可有下公式

\[ \arg(z)=\left\{ \begin{aligned} \arctan \frac{y}{x},~~~&x>0, y\in\mathbb{R}\\ \pi+\arctan \frac{y}{x},~~~&x<0,y\geq 0\\ -\pi+\arctan \frac{y}{x},~~~&x<0,y<0\\ \pi/2, ~~~&x=0,y>0\\ -\pi/2. ~~~&x=0,y<0 \end{aligned} \right. \]

复数乘积的三角表示式及几何意义：
设 $z_{1}=|z_{1}|(\cos \theta_{1}+i\sin\theta_{1})\neq 0, z_{2}=|z_{2}|(\cos \theta_{2}+i\sin\theta_{2})\neq 0$.
$z_{1}z_{2}=|z_{1}||z_{2}|(\cos (\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})$.
另一方面, $z_{1}z_{2}=|z_{1}z_{2}|\big(\cos\arg(z_{1}z_{2})+i\sin\arg(z_{1}z_{2})\big)$,
则$\arg(z_{1}z_{2})=\theta_{1}+\theta_{2}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}$.
$Arg(z_{1}z_{2})=Arg z_{1}+Arg z_{2}$, (集合意义下).
复数乘积的模是两个模的乘积, 辐角就是这两个复数的辐角之和(再加$2\pi$的整数倍).
几何意义：$z_{1}z_{2}$表示的向量：把$z_{2}$所表示的向量沿着逆时针方向旋转角度为$\arg z_{1}$, 向量模再伸长$|z_{1}|$所得. 同理, 商的三角表示式和几何意义：

\[\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{z_{1}\bar{z_{2}}}{|z_{2}|^2}=\frac{|z_{1}||z_{2}|}{|z_{2}|^2}[\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}-\theta_{2})]=\frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}[\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}-\theta_{2})] \]

故$|\frac{z_{1}}{z_{2}}|=\frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}, Arg(\frac{z_{1}}{z_{2}}=Arg z_{1}-Arg z_{2}$(集合相等).

例1.1.1. 求$Arg(-1+i)$与$Arg(-7-11i)$. 方法：先求主值.

例1.1.2. 设$z_{1},z_{2}$是两个复数, 求证：$|z_{1}+z_{2}|^2=|z_{1}|^2+|z_{2}|^2+2Re (z_{1}\bar{z_{2}})$.

证明：模的平方与共轭联系.

例1.1.3. 设$a_{k},b_{k}, k=1,2,\cdots,n$是复数, 证明：(C-S不等式): $$|\sum^{{n}_{k=1}a_{k}b_{k}|}2\leq \sum^{{n}_{k=1}|a_{k}|}2\cdot\sum^{{n}_{k=1}|a_{k}|}2.$$

证明：引入辅助级数$t$, $$\forall t\in\mathbb{C}, |a_{k}-t\bar{b_{k}}|^{2=(a_{k}-t\bar{b_{k}})\overline{(a_{k}-t\bar{b_{k}})}=|a_{k}|}2+|t|^2|b_{k}|2-2Re(a_{k}\bar{t}b_{k}).$$ 对$k$求和,

\[0\leq\sum^{n}_{k=1}|a_{k}|^2-2Re(\bar{t}\sum^{n}_{k=1}a_{k}b_{k})+|t|^2\sum^{n}_{k=1}|b_{k}|^2. \]

\[\sum^{n}_{k=1}|b_{k}|^2=0$$时, $b_{1}=\cdots=b_{n}=0$. 成立. $$\sum^{n}_{k=1}|b_{k}|^2\neq0$$时, 令$$t=\frac{\sum^{n}_{k=1}a_{k}b_{k}}{\sum^{n}_{k=1}|b_{k}|^2}$$代入, 得 $$ 0\leq\sum^{n}_{k=1}|a_{k}|^2-2Re\big(\frac{|\sum a_{k}b_{k}|^2}{\sum |b_{k}|^2}\big)+\frac{|\sum a_{k}b_{k}|^2}{\sum|b_{k}|^2} ~~~\Rightarrow|\sum a_{k}b_{k}|^2\leq\sum|a_{k}|^2\sum|b_{k}|^2.\]

至此, 我们知道复数可有坐标表示、向量表示、三角表示, 还可以用指数表示.

定义1.1.4. 设$z_{n}\in\mathbb{C}, n\in\mathbb{N},\alpha\in\mathbb{C}$, 若$\forall~~~\varepsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}, s.t, n>N$ 时, 恒有$|z_{n}-\alpha|<\varepsilon,$ 则称复数列$\{z_{n}\}$收敛于$\alpha$, 记作$\lim\limits_{n\to\infty}z_n=\alpha$.

定义1.1.5. 设$z_{n}=x_{n}+iy_{n}, \alpha=a+ib, a,b,x_{n},y_{n}\in\mathbb{R}, n\in\mathbb{N}$, 则$$\lim\limits_{n\to\infty}z_{n}=\alpha \Leftrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=a, \lim\limits_{n\to\infty}y_{n}=b.$$

定义1.1.6. 复数的柯西列

定义1.1.7. 复数柯西列的等价定义

定义1.1.8. 对于复数列而言, 柯西列是收敛列.

定义1.1.9. 复数项的无穷级数$$\sum^{\infty}{n=0}\alpha=\alpha_{0}+\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}+\cdots$$相应地, 定义复级数收敛和发散性质.

复平面的拓扑

定义圆盘$D(a,r)=\{z:|z-a|<r\}$, 进而有单位圆盘, 邻域, 空心邻域, 直径记为diam $E=\sup\{|z_1-z_2|:z_1,z_2\in E\}.$ 设$E, F$是任意两个集合, 之间的距离定义为: $d(E,F)=\inf\{|z_1-z_2|:z_1\in E, z_2\in F\}.$
内点. 如果对任意$r>0, D(a,r)\cap E$中有无穷个点, 那么称点$a$为集合$E$的聚点或极限点. 如果存在$r>0, D(a,r)\cap E=\{a\},$ 点$a$为集合$E$的边界点. 边界点可以属于集合$E$, 也可以不属于, 如果存在$r>0, D(a,r)\cap E=\{a\}$, 点$a$为边界点但不是聚点, 称之为$E$的孤立点.

定理1.2.1 （康托）设$F_n\subset \mathbb{C}(n\in\mathbb{N})$为闭集列, 满足$F_0\supset F_1\supset\cdots$且$$\lim\limits_{n\to\infty} diam F_n=0.$$ 这是实数域中的闭区间套定理的推广.

紧性. 设点集$E\subset C, \mathcal{F}$是一个开集族, 称$\mathcal{F}$是集合$E$的一个开覆盖, 就是说$E$中每一点至少属于$\mathcal{F}$中的某一开集, 称$E$具有有限覆盖性质, 是指从$E$的任意一个开覆盖中必能选出有限个开集$G_1, G_2, \cdots, G_n,$ 覆盖$E$, 即$E\subset \bigcup^n_{k=1} G_k$.

定义1.2.2 具有有限覆盖性质的集合$E$称为紧集.

例如, 空集和有限集.

定理1.2.3 (Heine-Borel) 设$E\subset\mathbb{C}$, 则$E$是有界闭集的充要条件是$E$为$\mathbb{C}$中的紧集.

定理1.2.4 (Bolzano-Weierstrass) 任意有界无穷点集至少有一个极限点. (或任意有界序列至少有一个收敛的子序列.)

定理1.2.5 设$E$是紧集, $F$是闭集, 且$E\cap F=\emptyset$, 则存在$a\in E, b\in F$, 使得$d(E,F)=|a-b|>0$.

证明：由$d(E,F)$的定义，存在$a_n\in E,b_n\in F$使得$|a_n-b_n|\to d(E,F), n\to\infty.$ 由于$E$是紧集，它是有界闭集。$\{a_n:n\in\mathbb{N}\}$必有收敛的子列$\{a_{n_k}:k\in\mathbb{N}\},$ 且收敛于$E$中一点$a$, $\{b_{n_k}:k\in\mathbb{N}\}$是有界列，必有收敛的子列$\{b_{n_{k_j}}:j\in\mathbb{N}\},$ 且收敛于$F$中一点$b$, 于是有

\[|a_{n_{k_j}}-B_{n_{k_j}}|\to d(a,b), ~~~j\to\infty. \]

所以就有$d(E,F)=|a-b|>0.$

例1.2.6 求证：点集$E$的边界$\partial E$是闭集。

证明：设$z$为$\partial E$的聚点，则对任意的$\varepsilon >0,$ 在点$z$的$\varepsilon$邻域内存在点$z_0\neq z,$ 使得$z_0\in \partial E$, 于是存在$\varepsilon'=\varepsilon-|z-z_0|>0$, 使得$D(z_0,\varepsilon'\subset D(z,\varepsilon),$ 由于$z_0\in \partial E$, 所以在$D(z_0,\varepsilon')$内存在属于和不属于$E$的点。于是在$D(z,\varepsilon)$内存在属于和不属于$E$的点。故$z\in\partial E$, 所以$\partial E$是闭集.

例1.2.7 过$z_1,z_2$两点，方向为从$z_1$到$z_2$的有向直线$L$的参数方程为

\[z=z_1+t(z_2-z_1) ~~~~ (-\infty<t<\infty). \]

有$(z-z_1)\overline{(z_2-z_1)}=t|z_2-z_1|^2.$

例1.2.7 关于圆周的方程。复数形式：$|z-z_0|^2=R^2$,或者$(z-z_0)\overline{(z-z_0)}=R^2.$ 于是以$z_0$为圆心，$R$为半径的圆周又可以表示成

\[z\bar{z}-\bar{z_0}z-z_0\bar{z}+|z_0|^2-R^2=0. \]

反之，若方程表示成

\[Az\bar{z}+\bar{B}z+B\bar{z}+C=0 \]

表示一个圆，其中$A,C\in\mathbb{R},A\neq 0,B\in\mathbb{C},|B|^2-AC>0$.
结合两个例子可得，直线与圆周方程可统一的表示为

\[Az\bar{z}+\bar{B}z+B\bar{z}+C=0 \]

表示一个圆，其中$A,C\in\mathbb{R},B\in\mathbb{C},|B|^2-AC>0$.
当$A=0$时，为直线方程。否则为圆周方程。

posted @ 2020-03-15 23:30 yodalodaleheehoo 阅读(2524) 评论(0) 编辑收藏举报

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复数、复数列和级数、拓扑性质

复变函数

复数, 复数序列和级数

例1.1.1. 求\(Arg(-1+i)\)与\(Arg(-7-11i)\). 方法：先求主值.

例1.1.2. 设\(z_{1},z_{2}\)是两个复数, 求证：\(|z_{1}+z_{2}|^2=|z_{1}|^2+|z_{2}|^2+2Re (z_{1}\bar{z_{2}})\).

例1.1.3. 设\(a_{k},b_{k}, k=1,2,\cdots,n\)是复数, 证明：(C-S不等式): $$|\sum^{{n}_{k=1}a_{k}b_{k}|}2\leq \sum^{{n}_{k=1}|a_{k}|}2\cdot\sum^{{n}_{k=1}|a_{k}|}2.$$

定义1.1.4. 设\(z_{n}\in\mathbb{C}, n\in\mathbb{N},\alpha\in\mathbb{C}\), 若\(\forall~~~\varepsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}, s.t, n>N\) 时, 恒有\(|z_{n}-\alpha|<\varepsilon,\) 则称复数列\(\{z_{n}\}\)收敛于\(\alpha\), 记作\(\lim\limits_{n\to\infty}z_n=\alpha\).

定义1.1.5. 设\(z_{n}=x_{n}+iy_{n}, \alpha=a+ib, a,b,x_{n},y_{n}\in\mathbb{R}, n\in\mathbb{N}\), 则$$\lim\limits_{n\to\infty}z_{n}=\alpha \Leftrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=a, \lim\limits_{n\to\infty}y_{n}=b.$$

定义1.1.6. 复数的柯西列

定义1.1.7. 复数柯西列的等价定义

定义1.1.8. 对于复数列而言, 柯西列是收敛列.

定义1.1.9. 复数项的无穷级数$$\sum^{\infty}{n=0}\alpha=\alpha_{0}+\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}+\cdots$$相应地, 定义复级数收敛和发散性质.

复平面的拓扑

定理1.2.1 （康托）设\(F_n\subset \mathbb{C}(n\in\mathbb{N})\)为闭集列, 满足\(F_0\supset F_1\supset\cdots\)且$$\lim\limits_{n\to\infty} diam F_n=0.$$ 这是实数域中的闭区间套定理的推广.

定义1.2.2 具有有限覆盖性质的集合\(E\)称为紧集.

定理1.2.3 (Heine-Borel) 设\(E\subset\mathbb{C}\), 则\(E\)是有界闭集的充要条件是\(E\)为\(\mathbb{C}\)中的紧集.

定理1.2.4 (Bolzano-Weierstrass) 任意有界无穷点集至少有一个极限点. (或任意有界序列至少有一个收敛的子序列.)

定理1.2.5 设\(E\)是紧集, \(F\)是闭集, 且\(E\cap F=\emptyset\), 则存在\(a\in E, b\in F\), 使得\(d(E,F)=|a-b|>0\).

例1.2.6 求证：点集\(E\)的边界\(\partial E\)是闭集。

例1.2.7 过\(z_1,z_2\)两点，方向为从\(z_1\)到\(z_2\)的有向直线\(L\)的参数方程为

例1.2.7 关于圆周的方程。复数形式：\(|z-z_0|^2=R^2\),或者\((z-z_0)\overline{(z-z_0)}=R^2.\) 于是以\(z_0\)为圆心，\(R\)为半径的圆周又可以表示成

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复变函数

复数, 复数序列和级数

例1.1.1. 求\(Arg(-1+i)\)与\(Arg(-7-11i)\). 方法：先求主值.

例1.1.2. 设\(z_{1},z_{2}\)是两个复数, 求证：\(|z_{1}+z_{2}|^2=|z_{1}|^2+|z_{2}|^2+2Re (z_{1}\bar{z_{2}})\).

例1.1.3. 设\(a_{k},b_{k}, k=1,2,\cdots,n\)是复数, 证明：(C-S不等式): $$|\sum{n}_{k=1}a_{k}b_{k}|2\leq \sum{n}_{k=1}|a_{k}|2\cdot\sum{n}_{k=1}|a_{k}|2.$$

定义1.1.4. 设\(z_{n}\in\mathbb{C}, n\in\mathbb{N},\alpha\in\mathbb{C}\), 若\(\forall~~~\varepsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}, s.t, n>N\) 时, 恒有\(|z_{n}-\alpha|<\varepsilon,\) 则称复数列\(\{z_{n}\}\)收敛于\(\alpha\), 记作\(\lim\limits_{n\to\infty}z_n=\alpha\).

定义1.1.5. 设\(z_{n}=x_{n}+iy_{n}, \alpha=a+ib, a,b,x_{n},y_{n}\in\mathbb{R}, n\in\mathbb{N}\), 则$$\lim\limits_{n\to\infty}z_{n}=\alpha \Leftrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=a, \lim\limits_{n\to\infty}y_{n}=b.$$

定义1.1.6. 复数的柯西列

定义1.1.7. 复数柯西列的等价定义

定义1.1.8. 对于复数列而言, 柯西列是收敛列.

定义1.1.9. 复数项的无穷级数$$\sum^{\infty}{n=0}\alpha=\alpha_{0}+\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}+\cdots$$相应地, 定义复级数收敛和发散性质.

复平面的拓扑

定理1.2.1 （康托） 设\(F_n\subset \mathbb{C}(n\in\mathbb{N})\)为闭集列, 满足\(F_0\supset F_1\supset\cdots\)且$$\lim\limits_{n\to\infty} diam F_n=0.$$ 这是实数域中的闭区间套定理的推广.

定义1.2.2 具有有限覆盖性质的集合\(E\)称为紧集.

定理1.2.3 (Heine-Borel) 设\(E\subset\mathbb{C}\), 则\(E\)是有界闭集的充要条件是\(E\)为\(\mathbb{C}\)中的紧集.

定理1.2.4 (Bolzano-Weierstrass) 任意有界无穷点集至少有一个极限点. (或任意有界序列至少有一个收敛的子序列.)

定理1.2.5 设\(E\)是紧集, \(F\)是闭集, 且\(E\cap F=\emptyset\), 则存在\(a\in E, b\in F\), 使得\(d(E,F)=|a-b|>0\).

例1.2.6 求证：点集\(E\)的边界\(\partial E\)是闭集。

例1.2.7 过\(z_1,z_2\)两点，方向为从\(z_1\)到\(z_2\)的有向直线\(L\)的参数方程为

例1.2.7 关于圆周的方程。复数形式：\(|z-z_0|^2=R^2\),或者\((z-z_0)\overline{(z-z_0)}=R^2.\) 于是以\(z_0\)为圆心，\(R\)为半径的圆周又可以表示成

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例1.1.3. 设\(a_{k},b_{k}, k=1,2,\cdots,n\)是复数, 证明：(C-S不等式): $$|\sum^{{n}_{k=1}a_{k}b_{k}|}2\leq \sum^{{n}_{k=1}|a_{k}|}2\cdot\sum^{{n}_{k=1}|a_{k}|}2.$$

定理1.2.1 （康托）设\(F_n\subset \mathbb{C}(n\in\mathbb{N})\)为闭集列, 满足\(F_0\supset F_1\supset\cdots\)且$$\lim\limits_{n\to\infty} diam F_n=0.$$ 这是实数域中的闭区间套定理的推广.