判断一个图是否有环
对于无向图
算法1
我们知道对于环1-2-3-4-1，每个节点的度都是2，基于此我们有如下算法（这是类似于有向图的拓扑排序）：
- 求出图中所有顶点的度，
- 删除图中所有度<=1的顶点以及与该顶点相关的边，把与这些边相关的顶点的度减一
- 如果还有度<=1的顶点重复步骤2
- 最后如果还存在未被删除的顶点，则表示有环；否则没有环
时间复杂度为O（E+V），其中E、V分别为图中边和顶点的数目，这个算法我们稍后分析算法3的时候再分析。
算法2
深度优先遍历该图，如果在遍历的过程中，发现某个节点有一条边指向已经访问过的节点，并且这个已访问过的节点不是当前节点的父节点（这里的父节点表示dfs遍历顺序中的父节点），则表示存在环。但是我们不能仅仅使用一个bool数组来标志节点是否访问过。如下图
从节点1开始遍历-接着遍历2-接着遍历3，然后发现3有一条边指向遍历过的1，则存在环。但是回到1节点时，它的另一条边指向已访问过的3，又把这个环重复计算了一次。
我们按照算法导论22.3节深度优先搜索中，对每个节点分为三种状态，白、灰、黑。开始时所有节点都是白色，当开始访问某个节点时该节点变为灰色，当该节点的所有邻接点都访问完，该节点颜色变为黑色。那么我们的算法则为：如果遍历的过程中发现某个节点有一条边指向颜色为灰的节点，那么存在环。则在上面的例子中，回溯到1节点时，虽然有一条边指向已经访问过的3，但是3已经是黑色，所以环不会被重复计算。
下面的代码中visit数组的值分为0 1 2三种状态分别代表白色、灰色、黑色，调用函数dfs可以输出图中存在的所有环，图用邻接矩阵表示，如果两个节点之间没有边则对应的值为INT_MAX
void dfsVisit(vector<vector<int> >&graph, int node, vector<int>&visit,
vector<int>&father)
{
int n = graph.size();
visit[node] = 1;
//cout<<node<<"-\n";
for(int i = 0; i < n; i++)
if(i != node && graph[node][i] != INT_MAX)
{
if(visit[i] == 1 && i != father[node])//找到一个环
{
int tmp = node;
cout<<"cycle: ";
while(tmp != i)
{
cout<<tmp<<"->";
tmp = father[tmp];
}
cout<<tmp<<endl;
}
else if(visit[i] == 0)
{
father[i] = node;
dfsVisit(graph, i, visit, father);
}
}
visit[node] = 2;
}
void dfs(vector<vector<int> >&graph)
{
int n = graph.size();
vector<int> visit(n, 0); //visit按照算法导论22.3节分为三种状态
vector<int> father(n, -1);// father[i] 记录遍历过程中i的父节点
for(int i = 0; i < n; i++)
if(visit[i] == 0)
dfsVisit(graph, i, visit, father);
}
算法时间复杂度也是O(E+V)
对于有向图
算法3
我们都知道对于有向图进行拓扑排序可以判断是否存在环。
对于有向图的拓扑排序，大家都知道的kahn算法：
- 计算图中所有点的入度，把入度为0的点加入栈
- 如果栈非空：
取出栈顶顶点a，输出该顶点值，删除该顶点
从图中删除所有以a为起始点的边，如果删除的边的另一个顶点入度为0，则把它入栈
- 如果图中还存在顶点，则表示图中存在环；否则输出的顶点就是一个拓扑排序序列
如果利用上面的拓扑排序算法求环，可以判断是否有环，但是输出环时有点麻烦。因为并不是所有最后剩余的点都是环中的顶点，比如如下情况：
对这个图运行上面的算法，最后所有的节点都不会被删除，但是只有1 2 3是环中的点，4不是环中的节点。
对于上面的算法1，和算法3的思想是一样的，所以也会存在这个问题。
算法4
其实算法2可以原封不动的搬来就可以检测并且输出所有有向图中的环 本文地址
算法5
根据有向图的强连通分量算法，每个强连通分量中必定存在环，因为根据强连通分量的定义：从顶点 i 到 j 有一条路径，并且从 j 到 i 也有一条路径。求强连通分量的算法可以参考维基百科here
补充：利用dfs来拓扑排序
只要对算法2稍微改动就可以输出有向图的拓扑排序结果，即按照节点标记为黑色的时间，越先标记为黑色，在拓扑序列中越靠后。我们在算法2的基础上加了一个栈来保存拓扑排序的结果，只有dfsVisit的最后一行有改动，该算法，可以完成拓扑排序，并且同时可以检测图中是否有环。（该算法思想和算法导论22.4节拓扑排序一样）
stack<int> tuopu;
void dfsVisit(vector<vector<int> >&graph, int node, vector<int>&visit,
vector<int>&father)
{
int n = graph.size();
visit[node] = 1;
//cout<<node<<"-\n";
for(int i = 0; i < n; i++)
if(i != node && graph[node][i] != INT_MAX)
{
if(visit[i] == 1 && i != father[node])//找到一个环
{
int tmp = node;
cout<<"cycle: ";
while(tmp != i)
{
cout<<tmp<<"->";
tmp = father[tmp];
}
cout<<tmp<<endl;
}
else if(visit[i] == 0)
{
father[i] = node;
dfsVisit(graph, i, visit, father);
}
}
visit[node] = 2;
tuopu.push(node);
}
void dfs(vector<vector<int> >&graph)
{
int n = graph.size();
vector<int> visit(n, 0); //visit按照算法导论22.3节分为三种状态
vector<int> father(n, -1);// father[i] 记录遍历过程中i的父节点
for(int i = 0; i < n; i++)
if(visit[i] == 0)
dfsVisit(graph, i, visit, father);
}
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