《数学分析》笔记：实数集和函数 4

§ 4 具有某些特性的函数

一 有界函数

定义 1 设 \(f\) 为定义在 \(D\) 上的函数 . 若存在数 \(M(L)\)，使得对每一个数 \(x\in D\)，有

\[f(x)\leqslant M\ (f(x)\geqslant L), \]

则称 \(f\) 为 \(D\) 上的 有上（下）界函数，\(M(L)\) 成为 \(f\) 在 \(D\) 上的一个上（下）界 .

定义 2 设 \(f\) 为定义在 \(D\) 上的函数 . 若存在正数 \(M\)，使得对每一个 \(x\in D\)，有

\[|\ f(x)\ |\leqslant M, \]

则称 \(f\) 为 \(D\) 上的有界函数.

同样地，设 \(f\) 为定义在 \(D\) 上的函数，若对任何 \(M\)（无论 \(M\) 有多大），都存在 \(x_0\in D\)，使得 \(f(x_0)>M\)，则称 \(f\) 为 \(D\) 的无上界函数.

二 单调函数

定义 3 设 \(f\) 为定义在 \(D\) 上的函数 . 若对任何 \(x_1,x_2\in D\)，当 \(x_1<x_2\) 时，总有

1. \(f(x_1)\leqslant f(x_2)\)，则称 \(f\) 为 \(D\) 上的（递）增函数，特别当成立严格不等式 \(f(x_1)<f(x_2)\) 时，称 \(f\) 为 \(D\) 上的严格（递）增函数；
2. \(f(x_1)\geqslant f(x_2)\)，则称 \(f\) 为 \(D\) 上的（递）减函数，特别当成立严格不等式 \(f(x_1)>f(x_2)\) 时，称 \(f\) 为 \(D\) 上的严格（递）减函数 .

增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数 .

定理 设 \(y=f(x)\ ,x\in D\) 为严格增（减）函数，则 \(f\) 必有反函数 \(f^{-1}\)，且 \(f^{-1}\) 在其定义域 \(f(D)\) 上也是严格增（减）函数 .

三 奇函数和偶函数

定义 4 设 \(D\) 为对称于原点的数集，\(f\) 为定义在 \(D\) 上的函数 . 若对每一个 \(x\in D\)，有

\[f(-x)=-f(x)\ (f(-x)=f(x)), \]

则称 \(f\) 为 \(D\) 上的奇（偶）函数 .

四 周期函数

设 \(f\) 为定义在数集 \(D\) 上的函数 . 若存在 \(\sigma>0\)，使得对一切 \(x\in D,x\pm\sigma\in D\)，有 \(f(x\pm\sigma)=f(x)\)，则称 \(f\) 为周期函数，\(\sigma\) 称为 \(f\) 的一个周期 . 若在周期函数 \(f\) 的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为 \(f\) 的基本周期，或简称做周期 .