《数学分析》笔记：实数集和函数 1

§ 1 实 数

一 定义

定义 1 给定两个非负实数

\[x=a_0.a_1a_2\cdots a_n\cdots,\ y=b_0.b_1b_2\cdots b_n\cdots, \]

其中 \(a_0,b_0\) 为非负整数，\(a_k,b_k(k=1,2,\cdots)\) 为整数，\(0\leqslant a_k\leqslant 9,0\leqslant b_k\leqslant 9.\) 若有

\[a_k=b_k,k=0,1,2,\cdots, \]

则称 \(x\) 与 \(y\) 相等，记为 \(x=y;\) 若 \(a_0>b_0\) 或存在非负整数 \(l\) 使得

\[a_k=b_k(k=0,1,2,\cdots,l)\text{而}a_{l+1} > b_{l+1}, \]

则称 \(x\) 大于 \(y\) 或 \(y\) 小于 \(x,\) 分别记为 \(x>y\) 或 \(y<x.\)

对于负实数 \(x,y\)，若按上述规定分别有 \(-x=-y\) 与 \(-x>-y\)，则分别称 \(x=y\) 与 \(x<y\) \((\) 或 \(y>x).\) 另外，规定任何非负实数大于任何负实数 .

定义 2 设 \(x=a_0.a_1a_2\cdots a_n\cdots\) 为非负实数，称有理数

\[x_n=a_0.a_1a_2\cdots a_n \]

为实数 \(x\) 的不足近似，而有理数

\[\overline{x}_n=x_n+\frac{1}{10^n} \]

称为 \(x\) 的 \(n\) 位过剩近似，\(n=0,1,2\cdots .\)

对于负实数 \(x=-\ a_0.a_1a_2\cdots a_n\cdots\)，其\(n\)位不足近似与过剩近似分别规定为

\[x_n=-\ a_0.a_1a_2\cdots a_n-\frac 1{10^n}\text{与}\ \overline{x}_n=-\ a_0.a_1a_2\cdots a_n. \]

注 不难看出，实数 \(x\) 的不足近似 \(x_n\) 当 \(n\) 增大时不减，即有 \(x_0\leqslant x_1\leqslant x_2\leqslant \cdots\)，而过剩近似 \(\overline{x}_n\) 当 \(n\) 增大时不增，即有 \(\overline{x}_0\geqslant \overline{x}_1 \geqslant \overline x_2 \geqslant \cdots.\)

二 重要定理

设 \(x=a_0.a_1a_2\cdots\) 与 \(y=b_0.b_1b_2\cdots\) 为两个实数，则 \(x>y\) 的等价条件是：存在非负整数 \(n\)，使得

\[x_n>\overline y_n, \]

其中 \(x_n\) 表示 \(x\) 的 \(n\) 位不足近似，\(\overline y_n\) 表示 \(y\) 的 \(n\) 位过剩近似 .

三 实数性质

1. 实数集 \(\mathbf{R}\) 对加、减、乘、除 \((\) 除数不为 \(0)\) 四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商 \((\) 除数不为 \(0)\) 仍然是实数 .

2. 实数集是有序的，即任意两实数 \(a,b\) 必满足下述三个关系之一 \(a<b,a=b,a>b.\)

3. 实数的大小关系具有传递性，即若 \(a>b,b>c,\) 则有 \(a>c.\)

4. 实数具有阿基米德 (Archimedes) 性，即对任何 \(a,b\in\mathbf{R}\)，若 \(b>a>0,\) 则存在正整数 \(n\)，使得 \(na>b.\)

5. 实数集 \(\mathbf{R}\) 具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数 .

6. 如果在一直线（通常画成水平直线）上确定一点 \(O\) 作为原点，指定一个方向为正向（通常把指向右方的方向规定为正向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴，任一实数都对应数轴上惟一的一点；反之，数轴上的每一点都惟一地代表一个实数 . 于是，实数集 \(\mathbf{R}\) 与数轴上的点有着一一对应关系 .

四 实数绝对值的性质

1. \(|a|=|-a|\geqslant 0\) 当且仅当 \(a=0\) 时有 \(|a|=0.\)

2. \(-|a|\leqslant a \leqslant |a|.\)

3. \(|a|<h\Leftrightarrow -h<a<h,|a|\leqslant h\Leftrightarrow -h\leqslant a\leqslant h(h>0).\)

4. 对于任何 \(a,b\in\mathbf{R}\) 有如下的三角形不等式 :

\[|a|-|b|\leqslant|a\pm b|\leqslant |a|+|b|. \]

5. \(|ab|=|a||b|.\)

6. \(|\dfrac a b|=\dfrac{|a|}{|b|}(b \neq 0).\)