P1522 [USACO2.4]牛的旅行 Cow Tours（Floyd）

题目描述

Farmer John 的农场里有很多牧区。有的路径连接一些特定的牧区。一片所有连通的牧区称为一个牧场。但是就目前而言，你能看到至少有两个牧区通过任何路径都不连通。这样，Farmer John 就有多个牧场了。

John 想在牧场里添加恰好一条路径。对这条路径有以下限制：

一个牧场的直径就是牧场中最远的两个牧区的距离（本题中所提到的所有距离指的都是最短的距离）。考虑如下的有5个牧区的牧场，牧区用 * 表示，路径用直线表示。每一个牧区都有自己的坐标：

                (15,15) (20,15)
                 D       E
                 *-------*
                 |     _/|
                 |   _/  |
                 | _/    |
                 |/      |
        *--------*-------*
        A        B       C
     (10,10)  (15,10) (20,10)

这个牧场的直径大约是 $12.07106$，最远的两个牧区是 $A$ 和 $E$，它们之间的最短路径是 $A \to B \to E$

这里是另一个牧场：

                         *F(30,15)
                        / 
                      _/  
                    _/    
                   /      
                  *------* 
                  G      H
                  (25,10)   (30,10)

在目前的情景中，他刚好有两个牧场。John 将会在两个牧场中各选一个牧区，然后用一条路径连起来，使得连通后这个新的更大的牧场有最小的直径。

注意，如果两条路径中途相交，我们不认为它们是连通的。只有两条路径在同一个牧区相交，我们才认为它们是连通的。

输入文件包括牧区、它们各自的坐标，还有一个如下的对称邻接矩阵：

　 A  B  C  D  E  F  G  H 
A  0  1  0  0  0  0  0  0
B  1  0  1  1  1  0  0  0
C  0  1  0  0  1  0  0  0
D  0  1  0  0  1  0  0  0
E  0  1  1  1  0  0  0  0
F  0  0  0  0  0  0  1  0
G  0  0  0  0  0  1  0  1
H  0  0  0  0  0  0  1  0

其他邻接表中可能直接使用行列而不使用字母来表示每一个牧区。输入数据中不包括牧区的名字。

输入文件至少包括两个不连通的牧区。

请编程找出一条连接两个不同牧场的路径，使得连上这条路径后，这个更大的新牧场有最小的直径。输出在所有牧场中最小的可能的直径。

输入格式

第一行一个整数 $N(1 \leqslant N \leqslant 150)$，表示牧区数。

接下来 $N$ 行，每行两个整数 $X,Y(0 \leqslant X ,Y \leqslant 10^5）$，表示 $N$ 个牧区的坐标。注意每个牧区的坐标都是不一样的。

接下来 $N$ 行，每行 $N$ 个数字，代表邻接矩阵。

输出格式

只有一行，包括一个实数，表示所求直径。数字保留六位小数。

只需要打到小数点后六位即可，不要做任何特别的四舍五入处理。

样例数据

输入

8
10 10
15 10
20 10
15 15
20 15
30 15
25 10
30 10
01000000
10111000
01001000
01001000
01110000
00000010
00000101
00000010

输出

22.071068

分析

首先用$Floyd$求一遍最短路径，然后找出每一个点联通的距离它最远的点，记录下来，最后再枚举任意两个不连通的点，将它们联通，这样就可以根据两点之间的距离公式以及两个点各自的最大距离，即新连接的两个牧场的直径

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define Enter puts("")
#define Space putchar(' ')
#define MAXN 10001
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef double Db;

inline ll Read()
{
    ll Ans = 0;
    char Ch = getchar() , Las = ' ';
    while(!isdigit(Ch))
    {
        Las = Ch;
        Ch = getchar();
    }
    while(isdigit(Ch))
    {
        Ans = (Ans << 3) + (Ans << 1) + Ch - '0';
        Ch = getchar();
    }
    if(Las == '-')
        Ans = -Ans;
    return Ans;
}

inline void Write(ll x)
{
    if(x < 0)
    {
        x = -x;
        putchar('-');
    }
    if(x >= 10)
        Write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}

struct Node
{
    int x;
    int y;
}G[MAXN];

double Distance(int i,int j)
{
    return sqrt((G[i].x-G[j].x)*(G[i].x-G[j].x)+(G[i].y-G[j].y)*(G[i].y-G[j].y));
}

int n;

double Dis[MAXN][MAXN] , Length_Dis[MAXN] , Length1 , Length2 = INF , Ans;

int main()
{
    int Temp;
    n = Read();
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        G[i].x = Read() , G[i].y = Read();
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            scanf("%1d" , &Temp);
            if(Temp)
                Dis[i][j] = Distance(i , j);
            else 
                if(i != j)
                    Dis[i][j] = INF;
        }    
    for(int k = 1; k <= n; k++)
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                if(Dis[i][k] + Dis[k][j] < Dis[i][j])
                    Dis[i][j] = Dis[i][k] + Dis[k][j];
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(Dis[i][j] != INF)
                Length_Dis[i]  =max(Dis[i][j] , Length_Dis[i]);
            Length1 = max(Length1 , Length_Dis[i]);
        }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            if(Dis[i][j] == INF)
                Length2 = min(Length_Dis[i] + Distance(i , j) + Length_Dis[j] , Length2);
    Ans = max(Length1 , Length2);
    printf("%.6f",Ans);
    return 0;
}