微分中值定理与简单例题
罗尔中值定理
描述
如果$R$上的函数$f(x)$满足以下条件:
(1)在闭区间$[a,b]$上连续
(2)在开区间$(a,b)$内可导
(3)$f(a) = f(b)$
则至少存在一个$ξ∈(a,b)$,使得$f'(ξ)=0$。
证明
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拉格朗日中值定理
描述
如果$R$上的函数$f(x)$满足以下条件:
(1)在闭区间$[a,b]$上连续
(2)在开区间$(a,b)$内可导
则至少存在一个$ξ∈(a,b)$,使得$f'(ξ)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$
拉格朗日中值公式
证明
令$g(x) = f(x)-f(a)-\frac{f(a)-f(b)}{a-b}(x-a)$,可得$g(a)=g(b)$,又根据罗尔中值定理,必有$g'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=0$,变形得$f(a)-f(b)=f'(\xi)(a-b)$
柯西中值定理
描述
如果$R$上的函数$f(x),g(x)$满足以下条件:
(1)在闭区间$[a,b]$上连续
(2)在开区间$(a,b)$内可导
则至少存在一个$ξ∈(a,b)$,使得$\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
证明
令$F(x)=[f(a)-f(b)][g(x)-g(a)]-[g(a)-g(b)][f(x)-f(a)]$,$F(a)=F(b)=0$,又根据罗尔中值定理,必有$[f(a)-f(b)]g'(\xi)-[g(a)-g(b)]f'(\xi)=0$,所以有$\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
例题
e.g.1
求证:$x>1$时,$e^{x}>ex$
证明:令$f(x)=e^{x}$,显然$f(x)$满足拉格朗日中值定理使用条件。则在区间$(1,x)$内,由拉格朗日中值定理可知,$f(x)-f(1)=f'(\xi)(x-1)$,得$e^{x}-e=e^{\xi}(x-1)$,又因为$\xi\in (1,x),x>1$,故$e^{\xi}(x-1)>0$,所以$e^{x}-e>0$,即$e^{x}>e$,$Q.E.D$
e.g.2
求证:当$0<a<b$时,$\frac{a-b}{b}<ln\frac{a}{b}<\frac{a-b}{a}$
证明:$ln\frac{a}{b}=lna-lnb$,令$f(x)=lnx$,显然$f(x)$满足拉格朗日中值定理使用条件。$f(a)-f(b)=f'(\xi)(a-b)$,所以$f(a)-f(b)=\frac{a-b}{\xi}$,因为$\xi\in (a,b),a<b$,所以$\frac{a-b}{b}<lna-lnb<\frac{a-b}{a}$即$\frac{a-b}{b}<ln\frac{a}{b}<\frac{a-b}{a}$,$Q.E.D$
e.g.3
求证:$a>b>0,n>1$时,$nb^{n-1}(a-b)<a^n-b^n<na^{n-1}(a-b)$
证明:令$f(x)=x^n$,显然$f(x)$满足拉格朗日中值定理使用条件。$f(a)-f(b)=f'(\xi)(a-b)$,所以$a^n-b^n=n\xi^{n-1}(a-b)$,又因为$\xi\in(b,a)$,所以$nb^{n-1}(a-b)<a^n-b^n<na^{n-1}(a-b)$,$Q.E.D$