1768:最大子矩阵

题目描述

已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是$1\times 1$)子矩阵。
比如，如下$4\times 4$的矩阵
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
的最大子矩阵是
9 2
-4 1
-1 8
这个子矩阵的大小是15。

输入格式

输入是一个$N\times N$的矩阵。输入的第一行给出$N\left ( 0<  N\leqslant 100\right )$。再后面的若干行中，依次（首先从左到右给出第一行的$N$个整数，再从左到右给出第二行的$N$个整数……）给出矩阵中的$N^{2}$个整数，整数之间由空白字符分隔（空格或者空行）。已知矩阵中整数的范围都在$\left [ -127,127\right ]$。

输出格式

输出最大子矩阵的大小。

样例数据

输入

4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

输出

15

分析

$Pre$数组表示矩阵前缀和，即$Pre_{i,j}=\sum_{1\leqslant k\leqslant i}a_{k,j}$

$Dp_{k}$表示起始行为$i$，终止行为$j$的子矩阵在第$k$列的元素之和

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define Enter puts("")
#define Space putchar(' ')

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef double Db;
typedef unsigned long long Ull;

inline ll Read()
{
    ll Ans = 0;
    char Ch = getchar() , Las = ' ';
    while(!isdigit(Ch))
    {
        Las = Ch;
        Ch = getchar();
    }
    while(isdigit(Ch))
    {
        Ans = (Ans << 3) + (Ans << 1) + Ch - '0';
        Ch = getchar();
    }
    if(Las == '-')
        Ans = -Ans;
    return Ans;
}
inline void Write(ll x)
{
    if(x < 0)
    {
        x = -x;
        putchar('-');
    }
    if(x >= 10)
        Write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}

int a[1001][1001];
int Dp[1001];
int Pre[1001][1001];
int Ans = -9999999;

int main()
{
    int n;
    n = Read();
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            a[i][j] = Read();
            Pre[i][j] = Pre[i - 1][j] + a[i][j]; 
        }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = i + 1; j <= n; j++)
         {
            for(int k = 1; k <= n; k++)    
                Dp[k] = Pre[j][k] - Pre[i - 1][k];
            for(int k = 1; k <= n; k++)
            {
                Dp[k] = max(Dp[k - 1] + Dp[k] , Dp[k]);
                Ans = max(Ans , Dp[k]);
            }
         }
    Write(Ans);
    return 0;
    
}