GAMES101 Lecture 02 Review of Linear Algebra

Lecture 02 Review of Linear Algebra

图形学的依赖

基础数学

• 线性代数
• 微积分
• 统计学

基础物理

• 光学
• 力学

杂项

• 信号处理
• 数值分析

一点美学

向量

（数学上称为向量，物理上称为矢量）

$\overrightarrow{AB}$ = B - A

向量表示方向和长度

向量的大小$\Vert \overrightarrow{a}\Vert$

单位向量 $\hat{a}=\overrightarrow{a}/\Vert \overrightarrow{a}\Vert$，用于表示方向

向量求和

几何上

平行四边形法则、三角形法则

代数上

Cartesian Coordinates(笛卡尔坐标系)

坐标相加

在图形学中，默认向量为列向量

$$\begin{gathered} A=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right) \\ {A}^T=\left(\begin{array}{c}x,y\end{array}\right) \\ ||A||=\sqrt{x^2+y^2} \end{gathered}$$

点乘

在图形学中

• 可以用向量算出这两个向量的夹角余弦，进而得到夹角

• 将一个向量任意地进行垂直于平行的分解

• 两个向量点乘结果可以得知它们的方向有多么接近

  结果越接近1方向越接近，越接近0越垂直，越接近-1越反向

• 向量点乘的正负可以获知两个向量前与后的信息

  结果大于0同向

  结果等于0垂直

  结果小于0反向

向量的点乘最终结果是一个数

$$\begin{gathered} \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\Vert \overrightarrow{a}\Vert \Vert \overrightarrow{b}\Vert \cos \theta \\ \cos \theta =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\Vert \overrightarrow{a}\Vert \Vert \overrightarrow{b}\Vert } \end{gathered}$$

对于单位向量

$cos\theta =\hat{a}\cdot \hat{b}$

性质

$$\begin{gathered} \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a} \\ \overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c} \\ (k\overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot (k\overrightarrow{b})=k(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}) \end{gathered}$$

在2D中

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\end{array}\right)=x_a{x}_b+y_a{y}_b$$

在3D中

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\\ z_a\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right)=x_a{x}_b+y_a{y}_b+z_a{z}_b$$

叉乘

• 可用于建立三维空间的直角坐标系

• 判定左和右 （如$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$）

  叉乘结果大于0，则b在a左侧，反之在右侧（左手坐标系）

• 判断内和外（三角形光栅化的基础）

  假设有A、B、C三个点逆时针排列，

  $$\begin{gathered} \mathrm{若}\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AP}、\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BP}\mathrm{和}\overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{CP} \\ \mathrm{均}\mathrm{判}\mathrm{断}\mathrm{出}P\mathrm{在}\mathrm{三}\mathrm{边}\mathrm{的}\mathrm{同}\mathrm{一}\mathrm{侧}(\mathrm{结}\mathrm{果}\mathrm{同}\mathrm{号}), \\ \mathrm{说}\mathrm{明}P\mathrm{点}\mathrm{在}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}\mathrm{内}\mathrm{侧} \\ \mathrm{若}\mathrm{结}\mathrm{果}\mathrm{为}0，\mathrm{则}\mathrm{自}\mathrm{己}\mathrm{觉}\mathrm{得}\mathrm{在}\mathrm{内}\mathrm{侧}\mathrm{或}\mathrm{外}\mathrm{侧} \end{gathered}$$

  　

向量叉乘的结果为向量，与两个原向量垂直，方向可应用右手螺旋定则，四指方向从a旋转到b，拇指方向为叉乘结果向量方向

$$\begin{gathered} a\times b=-b\times a \\ \Vert a\times b\Vert =\Vert a\Vert \Vert b\Vert sin\varphi \end{gathered}$$

性质

$$\begin{gathered} \overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y}=+\overrightarrow{z} \\ \overrightarrow{y}\times \overrightarrow{x}=-\overrightarrow{z} \\ \overrightarrow{y}\times \overrightarrow{z}=+\overrightarrow{x} \\ \overrightarrow{z}\times \overrightarrow{y}=-\overrightarrow{x} \\ \overrightarrow{z}\times \overrightarrow{x}=+\overrightarrow{y} \\ \overrightarrow{x}\times \overrightarrow{z}=-\overrightarrow{y} \\ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a} \\ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}=0 \\ \overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c} \\ \overrightarrow{a}\times (k\overrightarrow{b})=k(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}) \end{gathered}$$

*若一个向量叉乘自己，得到的是长度为0的向量，而不是0

*若xy叉乘为z，则为右手坐标系，反之为左手坐标系

• OpenGL为右手坐标系（Z轴向外）
• DirextX为左手坐标系（Z轴向内）
• Vulkan为右手坐标系（Y轴向下）
• Metal为左手坐标系（Z轴向内）
• Unity和Unreal为左手坐标系（同DX）

以矩阵的形式

$$\begin{gathered} \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{y}_a{z}_b-y_b{z}_a\\ z_a{x}_b-x_a{z}_b\\ x_a{y}_b-y_a{x}_b\end{array}\right) \\ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=A\ast b=\left(\begin{array}{ccc}0& -z_a& y_a\\ z_a& 0& -x_a\\ -y_a& x_a& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right) \end{gathered}$$

矩阵

矩阵乘矩阵

$$\begin{gathered} (M\times N)(N\times P)=(M\times P) \\ \mathrm{左}\mathrm{矩}\mathrm{阵}\mathrm{列}\mathrm{数}\mathrm{需}\mathrm{等}\mathrm{于}\mathrm{右}\mathrm{矩}\mathrm{阵}\mathrm{行}\mathrm{数}\mathrm{才}\mathrm{可}\mathrm{相}\mathrm{乘} \\ \mathrm{计}\mathrm{算}\mathrm{为}\mathrm{前}\mathrm{行}\mathrm{乘}\mathrm{后}\mathrm{列} \\ \mathrm{例}:\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 5& 2\\ 0& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}3& 6& 9& 4\\ 2& 7& 8& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}9& 29& 33& 13\\ 19& 44& 61& 26\\ 8& 28& 32& 12\end{array}\right) \end{gathered}$$

性质

• 无交换律，$AB!=BA$

• 结合律和分配律

  (AB)C = A(BC)

  A(B+C) = Ab + AC

  (A+B)C = AC + BC

矩阵乘向量

将向量视为列矩阵$(m\times 1)$

$$\begin{gathered} \mathrm{这}\mathrm{里}\mathrm{将}(x,y)\mathrm{关}\mathrm{于}y\mathrm{轴}\mathrm{对}\mathrm{称} \\ \left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x\\ y\end{array}\right) \end{gathered}$$

别的操作

转置

转换行和列(ij->ji)

$${\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right)$$

性质

$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

单位矩阵

对角阵只有对角线上有非0的元素，单位矩阵为对角线上全是1的对角阵

$$\begin{gathered} I_{3\times 3}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right) \\ A{A}^{-1}=A^{-1}A=I \\ (AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1} \end{gathered}$$

向量的点乘与叉乘的矩阵形式

• 点乘

  $$\begin{gathered} \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a^T}\overrightarrow{b} \\ =\left(\begin{array}{ccc}{x}_a& y_a& z_a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right)=(x_a{x}_b+y_a{y}_b+z_a{z}_b) \end{gathered}$$

• 叉乘

  $$\begin{gathered} \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=A^{\ast }b=\left(\begin{array}{ccc}0& -z_a& y_a\\ z_a& 0& -x_a\\ -y_a& x_a& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right) \\ {A}^{\ast }\mathrm{为}a\mathrm{的}\mathrm{伴}\mathrm{随}\mathrm{矩}\mathrm{阵} \\ {A}^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& ...& A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& ...& A_{n2}\\ ...& ...& ...& ...\\ A_{1n}& A_{2n}& ...& A_{nn}\end{array}\right)=(A_{ij}{)}^T \end{gathered}$$