大气渲染学习笔记

大气散射学习笔记

学习教程基于https://zhuanlan.zhihu.com/p/548799663

类型：

外散射：因散射导致看不到的光线

内散射：观察到本不能观察到的光线

过程:

从真空到P点：

$$\begin{gathered} \mathrm{透}\mathrm{射}\mathrm{率}{T}_{CP}=\frac{I_P}{I_C} \\ \mathrm{则}P\mathrm{点}\mathrm{光}\mathrm{照}\mathrm{量}{I}_P=I_C\ast T_{CP} \end{gathered}$$

从P点到相机：

散射函数

瑞利散射：

$$\begin{gathered} I_{PA}=I_{P}S(\lambda ,\theta ,h)T_{PA} \\ {I}_{PA}\mathrm{计}\mathrm{算}\mathrm{了}\mathrm{光}\mathrm{从}P\mathrm{到}A\mathrm{点}\mathrm{的}\mathrm{衰}\mathrm{减}\mathrm{过}\mathrm{程} \end{gathered}$$

实际上在P到A点进行了无数个衰减,那么A点的光照实际上应该是每一个点的求和

$$\begin{gathered} \mathrm{在}\mathrm{计}\mathrm{算}\mathrm{每}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{点}\mathrm{时}，\mathrm{他}\mathrm{们}\mathrm{的}\mathrm{光}\mathrm{照}\mathrm{贡}\mathrm{献}\mathrm{度}\mathrm{不}\mathrm{同}，\mathrm{乘}\mathrm{上}\mathrm{一}\mathrm{个}{d}_s\mathrm{是}\mathrm{为}\mathrm{了}\mathrm{让}\mathrm{结}\mathrm{果}\mathrm{达}\mathrm{到}\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{现}\mathrm{象}\mathrm{的}\mathrm{近}\mathrm{似}\mathrm{结}\mathrm{果} \\ {I}_A=\sum _{P\in AB}{I}_{PA}{d}_s \\ =\sum _{P\in AB}{I}_C\ast S(\lambda ,\theta ,h)\ast T_{CP}\ast T_{PA}\ast d_s \\ =I_S\ast \sum _{P\in AB}S(\lambda ,\theta ,h)\ast T_{CP}\ast T_{PA}\ast d_s \end{gathered}$$

瑞利散射的定义

定义

$$\begin{gathered} I=I_{0}S(\lambda ,\theta ,h) \\ S(\lambda ,\theta ,h)=\frac{{\pi }^2(n^2-1{)}^2}{2}\frac{\rho }{N}\frac{1}{{\lambda }^4}（1+co{s}^2\theta ） \\ \lambda \mathrm{为}\mathrm{波}\mathrm{长}，n\mathrm{为}\mathrm{粒}\mathrm{子}\mathrm{折}\mathrm{射}\mathrm{率} \\ \text{N}\mathrm{为}\mathrm{海}\mathrm{平}\mathrm{面}\mathrm{处}\mathrm{的}\mathrm{大}\mathrm{气}\mathrm{密}\mathrm{度}，\rho (h)\mathrm{是}\mathrm{高}\mathrm{度}h\mathrm{处}\mathrm{的}\mathrm{相}\mathrm{对}\mathrm{大}\mathrm{气}\mathrm{密}\mathrm{度}（\mathrm{相}\mathrm{对}\mathrm{海}\mathrm{平}\mathrm{面}\mathrm{的}\mathrm{密}\mathrm{度}） \\ \mathrm{即}\mathrm{海}\mathrm{平}\mathrm{面}\mathrm{处}\mathrm{为}1，\rho (h)\mathrm{随}h\mathrm{增}\mathrm{大}\mathrm{而}\mathrm{减}\mathrm{小} \\ \mathrm{将}\mathrm{公}\mathrm{式}\mathrm{分}\mathrm{解}\mathrm{为}\mathrm{瑞}\mathrm{利}\mathrm{散}\mathrm{射}\mathrm{系}\mathrm{数}\mathrm{和}\mathrm{瑞}\mathrm{利}\mathrm{散}\mathrm{射}\mathrm{相}\mathrm{位}\mathrm{函}\mathrm{数} \\ S(\lambda ,\theta ,h)=\beta (\lambda ,h)\gamma (h) \end{gathered}$$

$$\mathrm{其}\mathrm{中}\rho (h)=e^{-\frac{h}{H}}$$

指数衰减：

设衰减系数为β

$$\begin{gathered} I_1=I_0(1-\frac{\beta }{2}) \\ {I}_2=I_1(1-\frac{\beta }{2})=I_0(1-\frac{\beta }{2}{)}^2 \\ \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-\frac{\beta }{2}{)}^n=e^{-\beta }=exp\{-\beta \} \\ {I}_P=I_{S}exp\{-\beta CP\} \end{gathered}$$

瑞利散射是在三维空间进行的

$$\begin{gathered} \beta (\lambda ,h)={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }S(\lambda ,\theta ,h)sin\theta d\theta d\varphi \\ ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{{\pi }^2(n^2-1{)}^2}{2}\frac{\rho (h)}{N}\frac{1}{{\lambda }^4}(1+co{s}^2\theta )sin\theta d\theta d\varphi \\ \mathrm{提}\mathrm{取}\mathrm{出}\mathrm{常}\mathrm{数} \\ =\frac{{\pi }^2(n^2-1{)}^2}{2}\frac{\rho (h)}{N}\frac{1}{{\lambda }^4}{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }(1+co{s}^2\theta )sin\theta d\theta d\varphi \\ =\frac{{\pi }^2(n^2-1{)}^2}{2}\frac{\rho (h)}{N}\frac{1}{{\lambda }^4}\frac{16\pi }{3} \\ \beta (\lambda ,h)=\frac{8{\pi }^3(n^2-1{)}^2}{3}\frac{\rho (h)}{N}\frac{1}{{\lambda }^4} \end{gathered}$$

瑞利相位函数推导：

$$\begin{gathered} \gamma (\theta )=\frac{S(\lambda ,\theta ,h)}{\beta (\lambda ,h)} \\ =\frac{{\pi }^2(n^2-1{)}^2}{2}\frac{\rho }{N}\frac{1}{{\lambda }^4}（1+co{s}^2\theta ）\frac{3}{8{\pi }^3(n^2-1{)}^2}\frac{N}{\rho (h)}{\lambda }^4 \\ =\frac{3}{16\pi }(1+co{s}^2\theta ) \\ \mathrm{其}\mathrm{中}\rho (h)=e^{-\frac{h}{H}}=exp\{-\frac{h}{H}\}，\mathrm{为}\mathrm{密}\mathrm{度}\mathrm{比} \\ \mathrm{当}\mathrm{处}\mathrm{于}\mathrm{海}\mathrm{平}\mathrm{面}\mathrm{时}，h=0,\beta (\lambda )=\beta (\lambda ,0)=\frac{8{\pi }^3(n^2-1{)}^2}{3}\frac{1}{N}\frac{1}{{\lambda }^4} \end{gathered}$$

加入密度的影响

这个衰减并不完全是指数的，也会受到大气密度的影响

$$\begin{gathered} I_P=I_{S}exp\{-\beta (\lambda ,h_0)CQ\}exp\{-\beta (\lambda ,h_1)QP\} \\ =I_{S}exp\{-(\beta (\lambda ,h_0)+\beta (\lambda ,h_1))d_S\} \\ \mathrm{将}\mathrm{长}\mathrm{度}\mathrm{均}\mathrm{匀}\mathrm{切}\mathrm{分}，\mathrm{乘}\mathrm{上}\mathrm{一}\mathrm{个}{d}_S\mathrm{达}\mathrm{到}\mathrm{近}\mathrm{似}\mathrm{的}\mathrm{效}\mathrm{果} \end{gathered}$$

简化一下写法

$$I_P=I_{S}exp\{-\sum _{Q\in CP}\beta (\lambda ,h_Q)d_S\}$$

替换前文的简陋说法：

从C到P的透射率替换：

$$T(CP)=exp\{-\sum _{Q\in CP}\beta (\lambda ,h_Q)d_S\}$$

瑞利散射中衰减因子的替换

$$\begin{gathered} T(CP)=exp\{-\sum _{Q\in CP}\frac{8{\pi }^3(n^2-1{)}^2}{3}\frac{\rho (h_Q)}{N}\frac{1}{{\lambda }^4}{d}_S\} \\ \mathrm{分}\mathrm{离}\mathrm{常}\mathrm{量} \\ T(CP)exp\{-\frac{8{\pi }^3(n^2-1{)}^2}{3}\frac{1}{N}\frac{1}{{\lambda }^4}\sum _{Q\in CP}\rho (h_Q)d_S\} \end{gathered}$$

用于求和的量称为光学深度D(cp)，这是shader里面要实际计算的东西，其余的都是乘法系数，只需计算一次

米氏散射

不会推导（

计算

散射方程

瑞利散射

瑞利散射系数定义：

$$\begin{gathered} {\beta }_R(\lambda )=\frac{8{\pi }^3(n^2-1{)}^2}{3N_e{\lambda }^4} \\ n\mathrm{是}\mathrm{空}\mathrm{气}\mathrm{的}\mathrm{折}\mathrm{射}\mathrm{率} \\ {N}_e\mathrm{是}\mathrm{海}\mathrm{平}\mathrm{面}\mathrm{空}\mathrm{气}\mathrm{的}\mathrm{分}\mathrm{子}\mathrm{密}\mathrm{度} \\ \mathrm{然}\mathrm{后}\lambda \mathrm{是}\mathrm{入}\mathrm{射}\mathrm{光}\mathrm{的}\mathrm{波}\mathrm{长} \\ {\beta }_R(\lambda ,h)=\frac{8{\pi }^3(n^2-1{)}^2}{3}\frac{\rho (h)}{N}\frac{1}{{\lambda }^4} \end{gathered}$$

瑞利散射相位函数：

$$F_R(\theta )=\frac{3}{4}(1+co{s}^2\theta )$$

米氏散射

米氏散射定义

（更便宜的做法）

$${\beta }_M(\lambda ,h)=\frac{8{\pi }^3(n^2-1{)}^2}{3}\frac{\rho (h)}{N}$$

米氏散射相位函数

$$\begin{gathered} HG\mathrm{函}\mathrm{数}(Henyey-Greenstein): \\ {\gamma }_{HG}(\theta )=\frac{1}{4\pi }\frac{1-g^2}{1+g^2-2gcos\theta } \\ g\mathrm{为}\mathrm{控}\mathrm{制}\mathrm{散}\mathrm{射}\mathrm{几}\mathrm{何}\mathrm{的}\mathrm{不}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{性} \\ \mathrm{正}\mathrm{值}\mathrm{会}\mathrm{增}\mathrm{加}\mathrm{向}\mathrm{前}\mathrm{的}\mathrm{散}\mathrm{射}\mathrm{光}\mathrm{量}，\mathrm{负}\mathrm{值}\mathrm{会}\mathrm{增}\mathrm{加}\mathrm{向}\mathrm{后}\mathrm{的}\mathrm{散}\mathrm{射}\mathrm{光}\mathrm{量} \end{gathered}$$

密度函数

$${\rho }_{R,M}(h)=exp(-\frac{h}{H_{R,M}})=e^{-\frac{h}{H_{R,M}}}$$

渲染解方程

$$\begin{gathered} \mathrm{参}\mathrm{数}p\mathrm{为}\mathrm{点}，l，v\mathrm{为}\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{向}\mathrm{量}，h\mathrm{为}p\mathrm{点}\mathrm{高}\mathrm{度}，\lambda \mathrm{为}\mathrm{光}\mathrm{线}\mathrm{波}\mathrm{长} \\ {I}_S\mathrm{的}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{为}： \\ {I}_S(p,v,l,\lambda )=I_I(\lambda )({\rho }_R(h)F_R(\theta )\frac{{\beta }_R(\lambda )}{4\pi } \\ + \\ {\rho }_M(h)F_M(\theta )\frac{{\beta }_M(\lambda )}{4\pi }) \end{gathered}$$

衰减函数

$$\begin{gathered} \mathrm{参}\mathrm{数}\mathrm{意}\mathrm{义}\mathrm{见}\mathrm{上}\mathrm{图} \\ T(p_a,p_b,\lambda )=exp\{-\sum _{i\in R,M}{\beta }_i^e(\lambda ){\int }_{p_a}^{p_b}{\rho }_{R,M}(h(p))d_P\} \\ {\beta }^e\mathrm{是}\mathrm{消}\mathrm{光}\mathrm{系}\mathrm{数} \\ \mathrm{当}\mathrm{分}\mathrm{子}\mathrm{中}\mathrm{只}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{散}\mathrm{射}\mathrm{现}\mathrm{象}\mathrm{时},{\beta }_R^e={\beta }_R \end{gathered}$$

考虑了臭氧层对光的衰减过程（臭氧层不会散射光，只会衰减光）

在计算时只考虑臭氧层对光线的衰减

$$\begin{gathered} T(p_a,p_b,\lambda )=exp\{-\sum _{i\in R,M,O}{\beta }_i^e(\lambda ){\int }_{p_a}^{p_b}{\rho }_{R,M,O}(h(p))d_P\} \\ O\mathrm{是}\mathrm{臭}\mathrm{氧}\mathrm{的}\mathrm{消}\mathrm{光}\mathrm{系}\mathrm{数} \\ \mathrm{臭}\mathrm{氧}\mathrm{的}\mathrm{密}\mathrm{度}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{为}：\rho O=6e-7\ast \rho R \end{gathered}$$

单散射

$$\begin{gathered} I_{S_{R,M}}^{(1)}(p_0,v,l,\lambda ) \\ =I_I(\lambda )F_{R,M}(\theta )\frac{{\beta }_{R,M}(\lambda )}{4\pi }{\int }_{p_a}^{p_b}{\rho }_{P,M}(h(p))T(p_c,p,\lambda )T(p,p_a,\lambda )d_P \end{gathered}$$

考虑了散射和衰减的单散射公式

$$\begin{gathered} I_S^{(1)}=I_{S_R}^{(1)}+I_{S_M}^{(1)} \\ \mathrm{将}\mathrm{瑞}\mathrm{利}\mathrm{散}\mathrm{射}\mathrm{和}\mathrm{米}\mathrm{氏}\mathrm{散}\mathrm{射}\mathrm{的}\mathrm{结}\mathrm{果}\mathrm{相}\mathrm{加}\mathrm{就}\mathrm{能}\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{单}\mathrm{散}\mathrm{射}\mathrm{结}\mathrm{果} \end{gathered}$$

多重散射

嵌套多维积分可以获得高阶散射方程，但是太慢了

可以使用下面的函数来帮助实现多重散射

$$G_{R,M}^{(k)}(p,v,l,\lambda )={\int }_{4\pi }{F}_{R,M}(\theta )I_{R,M}^{(k)}(p,\omega ,l,\lambda )d_{\omega }$$

该函数定义了一个到达某一点p的散射k阶的光量和在方向v上的散射

k阶的聚焦函数表示聚焦在p点的光，该店的光恰好经历了k个散射事件

使用k阶函数让我们对上面的单散射函数的最终公式变形得到多重 散射最终公式:

$$I_{S_{R,M}}^{(k)}(p_0,v,l,\lambda )=\frac{{\beta }_{R,M}(\lambda )}{4\pi }{\int }_{p_a}^{p_b}{G}_{R,M}^{(k-1)}(p,v,l,\lambda ){\rho }_{R,M}(h(p))T(p,p_a,\lambda )d_p$$

总光强就是把瑞利散射和米氏散射的结果相加，再计算k阶散射后到达观察者的所有光

需要做的就是把单次散射和更高阶散射的结果相加

$$I_S=\sum _{i=1}^k{I}_S^{(i)}$$

纹理存储

通过以下简化

1. 地球可以被看成一个完美的球形
2. 空气中的颗粒物密度只随高度变化和地理位置无关
3. 由于地球与太阳之间的距离很远，所有到达大气层的光都可以视为平行光

将纹理从观察者位置(XYZ)、视图方向(XYZ)、光源方向(XYZ)组成的九个维度的查找表简化到四个自由度：高度、日天顶角、视天顶角和日视方位角

其中日视方位角影响地球对大气的阴影，这种现象由于多次散射几乎看不见了，并且还会被地形遮挡，因此去除日视方位角。于是需要对瑞利散射相位函数进行调整，不然会在太阳的米氏散射上有块状阴影，解决方法是将相位函数的评估推迟到fragment shader上

纹理化

为了能在3d纹理中回去到值，需要将三个参数转化到[0,1]的范围中

$$\begin{gathered} \mathrm{高}\mathrm{度}h\in [0,H_{atm}],\mathrm{视}\mathrm{天}\mathrm{顶}\mathrm{角}{\theta }_v\in [0,\pi ],\mathrm{日}\mathrm{天}\mathrm{顶}\mathrm{角}{\theta }_s\in [0,\pi ] \\ \to \\ {u}_h\in [0,1],u_v\in [0,1],u_s\in [0,1] \end{gathered}$$

转化函数最直接的实现是使用线性参数化，但是可以通过线性参数化方程的改变来进一步提高精度

高度重映射

大气密度随海拔高度呈现指数下降，因此在低海拔地区应该有更多地参数化集中

$$u_h=(\frac{h}{H_{atm}}{)}^{0.5}$$

视天顶角重映射

在低海拔地区应更集中

$$u_v=\{\begin{array}{ll}0.5(\frac{c_v-c_h}{1-c_h}{)}^{0.2}+0.5& c_v>c_h\\ 0.5(\frac{c_h-c_v}{1-c_h}{)}^{0.2}& c_v⩽c_h\\ & c_h=-\frac{\sqrt{h(2R_{Earth}+h)}}{R_{Earth}+h}\end{array}$$

日天顶角重映射

虽然太阳方向在白天不会发生剧烈的变化，但是我们不需要包含低于某个阈值的太阳角度，因为夜间几乎不存在来自太阳的非散射光

$$u_s=0.5(\frac{ta{n}^{-1}(max(c_s,-0.1975)tan(1.26·1.1))}{1.1}+(1-0.26))$$