图的算法复习大纲
一、无向图
1.无向图的实现
2.深度优先搜索检查是否可达
3.深度优先搜索获取可达路径
4.广度优先搜索获得最短路径（只要塞入队列就标记，塞入就算是访问了）
5.深度优先搜索获得图的连通分量数目和各个顶点所在的连通子图id
6.深度优先搜索判断图是否有环，判断图是否用2种颜色图且相邻顶点不同色（二分图），二分图的一个实例是：电影是顶点，演员也是顶点，他们构成的图就是二分图，这个二分图一开始是根据电影对应哪些演员生成的，但最后却可以得到某个演员演了哪些电影，即二分图有天生的反向索引功能。不过实现上需要符号图的帮助，不然你咋知道1,2那个是电影
7.符号图的实现
8. 欧拉路径和欧拉环
无向图G存在欧拉路径的充要条件:图G是连通的,且至多除两个点外(可以为0个,连接图不可能有且仅有一个顶点的度奇数)其它所有顶点的度为偶数.要找欧拉路径, 满足上述条件，只要简单的找出一个度为奇数的节点，遍历结点，看是否图连通。
无向图，每个顶点的度数都是偶数，则存在欧拉环；有向图，每个节顶点的入度都等于出度，则存在欧拉环。
二、有向图
1.有向图的实现
2.深度优先搜索的可达性和路径
3.广度优先搜索的可达性和路径
4.有向环的识别：有向图中是否有有向环
5.基于深度优先搜索的顶点排序，在访问的dfs最后，把当前访问元素压入堆栈。栈顶到栈底就是我们要的顺序，用于拓扑排序。（也可以用队列来，在dfs开始那里压入队列）
6.对无环的有向图的顶点进行拓扑排序（后者的入度来源总是在前者中）：先识别无环，然后基于深度优先搜索的顶点排序的到的就是了。
7.强连通性：图的任意2个顶点间都互相可达
1.强连通性把图的所有顶点分割为几个子集，这些子集成为强连通分量，强连通分量内部一般关系密切，在实际处理数据时，一般先得到图的强连通分量，然后进行处理。
2.Kosaraju算法得到强连通分量：只在无向图的连通分量那里加上一点：在构造函数中，按某种顺序访问顶点，并对其进行dfs即可，只是访问顺序和无向图不同：
先用第5点的深度优先搜索得到“图的逆向图”的顶点访问顺序（栈S），然后对这个顺序访问即可。书里的证明写得很好但核心部分不如我下面写得好，认真看能看懂。
在G中访问顺序是s->v，即栈S中，s在顶v在底，所以在G的逆的深度优先搜索中，先v入栈，然后s才入栈，这有2种可能：
1.dfs(v)在dfs(s)前就结束了，2.dfs(v)在dfs(s)内部。第1种不可能，因为在G的逆中，v->s可达，所以只能是2，那么在G的逆中，s->v可达，即在G中v->s可达，证毕。
8.任意顶点对的可达性，目前还在研究，对小图而言，可以给每个顶点都生成一条到其他顶点的路径，用深度/广度优先搜索的可达性解决。
三、最小生成树
1.生成树：图的生成树是它的一棵含有其所有顶点的无环连通子图。最小生成树是它的一棵权重最小的生成树。
2.切分定理和贪心算法：
1.图的切分：图的一种切分是将图的所有顶点分为2个非空且不重复的集合，横切边是一条连接属于2个不同集合的顶点的边
2.切分定理：在一幅加权图中，给定任意切分，它的横切边中的权重最小者必然属于图的最小生成树。
3.最小生成树的贪心算法：对于V个顶点的加权连通图，初始化所有边为灰色，找到一种切分，它的横切边都不是黑色，则将它权重最小的横切边标为黑色。反复，知道标记了V-1条黑色边为止。证明：因为V个顶点的树有V-1条边，又有切分定理，证毕。
3.加权无向图的实现
4.Prim算法
1.Prim算法的延时实现，队列存的是边
2.Prim算法的即时实现，队列存的是顶点和它到最小生成树的最小距离，另外每个顶点都在更新距离的同时更新其到树的父亲。
5.Kruskal算法：每次都取最小权重的边，然后如果不和当前最小生成树构成环，则加入最小生成树中，对其原理不甚明了，但其按权重最小顺序得到横切边可能有特殊应用。
四、最短路径：
1.加权有向图的实现
2.理论基础：
1.定义：在一幅加权有向图中，从顶点S到T的最短路径是所有从S到T的路径中的权重最小者。
2.用int[] disTo[]来存各个顶点到S点的最短距离（初始化时，disTo[S]=0，其他的为Int.MaxValue）
3.边的放松：
DirectedEdge e; int v = e.from(); int w = e.to();
if (disTo[w] > disTo[v] + e.weight()) { disTo[w] = disTo[v] + e.weight(); edgTo[w] = e;}
4.顶点的放松：对v所有边进行放松
5.最短路径最优条件：当所有边都不能再放松时（即所有顶点disTo[w] <= disTo[v] + v.weight()， w为任意顶点，v为任意可达w的相邻顶点），我们就得到最短路径了。
6.所以最短路径的目标是：找到遍历所有顶点的方法，使得遍历后的顶点的disTo[v]都不会再变小。
3.Dijkstra算法：
把第一个顶点加入索引优先队列，接着把队列里disTo最小的顶点拉出来放松，并更新队列中disTo变化/新增的顶点，反复，直到队列为空。很类似Prim的即时版
这里要理解一点：放松后的顶点的disTo不会再变小了。设访问v之前所有放松过的顶点的集合为A，因为队列都是先取距离集合A最小的顶点放松，那么v到达这个集合的距离肯定比k小（k是任意比v晚放松的顶点），又从k到v的权重只能是正的，所以disTo[v]不会因为k而变小，即放松v后disTo[v]就不会改变了，满足我们的目标。
Dijkstra算法能解决加权有向图的最短路径问题（非负权重），图可以有环。
4.无环加权有向图的最短路径和最长路径（权重可正可负）：
1.我们学有向图时知道无环有向图的顶点拓扑排序满足：后面顶点不会是前面顶点的入度（或者是依赖），这意味着，如果我们按照拓扑排序的顺序放松各个顶点，那每个放松过的顶点的disTo[v]都不会再变小了。这个满足我们的目标。这种方法的图必须无环，但权重可以为负，实现上也不难。
2.同1一样，我们可以按拓扑排序放松各个顶点，但disTo[]的初始值为int.MinValue并且放松函数里面改变不等号方向，这样就可以得到最长路径了；或者使用另外的方法，先拷贝一份图，并把各个边的权重加个负号，然后依然按拓扑排序放松各个顶点，这样照样可以得到最长路径。
3..有优先级限制的任务调度：
首先，我们要构建一个图。
第一步，添加一个虚拟的起点和一个虚拟的终点；
第二步，对每个一定耗时的任务：抽象为2个顶点，添加连接2顶点的边，权重是该任务的耗时，接着添加图起点到顶点起点的边但权重为0，添加顶点终点到图终点的边但权重为0；
第三步，对每个任务的优先级限制（必须先A才能B，即A->B），添加连接A任务终点顶点到B任务起点的边，权重为0；
构建图完毕， 求其最长路径，得到的disTo[图终点]就是在允许任意多个处理线程的情况下处理全部任务的最短耗时了（如果是单线程，只能按拓扑排序那样搞一波，如果是n个线程呢？初步想法是还是按拓扑的来，每个线程处理一个队列：遍历所有任务，当任务的依赖任务处于某个线程中时，把该任务加入该线程，否则，如果有空闲线程就给该线程，如果木有就给当前任务耗时最小的线程，这样应该算比较不错的统筹方法了）。扯远了，下面要证明一下这个最长路径为何就能得到最短耗时。
任何一个任务，其开启依赖于各个指向它的任务，即依赖多条从起点到它那里的路径，必须等所有路径上的任务都完成了才能开启它，又因为有多个处理线程，所有最长路径就成了关键点，即处理到达它的最长路径的那个处理线程处理到它那里后，其他路径的线程都完成了，这个时候就处理它，那那个处理最长路径的线程可以让出一部分任务让其他线程分担吗？不能，因为路径上的任务都依赖其前置任务。故，图的终点的disTo就是最终耗时。
5.一般加权有向图的最短路径算法：Bellman-Ford算法，这个我懒得看了。=。=
总结，图的内容还是很不错的，无论是理论研究还是应用，复习时记得边看大纲边想，边联系书和实现。多看几遍就好了，并且会越来越快的。
