高维数据稀疏表示-什么是字典学习（过完备词典）
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稀疏表示理论背景
稀疏表示的由来
稀疏表示理论最早是在研究信号处理应用中发展起来得。其基础是多尺度分析理论，在此基础上拓展，形成了相应的理论框架。主要是通过少数的稀疏稀疏来逼近原信号。近年来，稀疏表示的方法主要应用于信号处理和图像处理方面。
啥是高维数据
这里，信号和图像都可以看成是一个数据对象在所有维度上的信号，本文统称为“数据对象”。因此，不难看出，这种数据对象必然是一个高维的。何为高维？举个栗子：比如对一个10个人的薪酬表的描述。表的行是这10个人；列是这是个人的属性，比如姓名、生日、职位、基本工资、工作年限等一共20个属性。那么这个表就是一个10*20的表。每个人即一个数据对象，是20维的。那么问题来了，比如一个人脸的图像（简化一下，不是自拍照，是一寸照。再简化一下，比如这个图像要求的清晰度不高，只要32*32像素的）。那么可以理解成这个图像有32*32个点，每个点有一个表示颜色的数值（再进一步简化，这是黑白照片，每个点的数值表示的是这个点的深浅程度）。那么这个照片就有32*32=1024个点。如果我们有这要的照片100张，每张照片都有1024个表示颜色深浅的数据，那么就得到了一个100*1024的表。这明显是高维了。而真正的图像中，不可能是32*32的吧（难道都是小霸王里的超级玛丽？），要再是彩色的，俺的苍天啊，这个维度就更高了，高到我不想举例子了。在实际工作的研究领域，一般20维以上即可以算作是高维数据了。
高维数据的特点
- 维灾：这个名字太贴切了，维度增加带来的灾难。这个概念是一个叫Bellman的大叔在1962年提出来的（好像不是大叔，大爷都不止了）。意思是对于一个多变量的函数，随着维数的增加（变量的增加），这样高维数据问题往往转化成为了一个多变量的优化求解问题。但由于维度太高了，传统的算法就不行了。比如，每个数据对象理解成一个点，我们一般用k近邻的概念时要找到距离这个点最近的k个点。但是在高维空间中，最近的点和最远的点的距离随维度增加而减小，换句话说，维度增加让远点和近点的差异减小，趋近于零。所以单纯用传统办法解决高维问题，没戏了。（这里的例子实际上是高维聚类问题）
- 未标记（UNlabeled）：所谓标记，就是上面薪酬例子里的，姓名，年龄，这些东西，可以理解成为属性（即维度）的名字。但是现在这个社会，得到的大量数据往往是未标记的。比如，一个电子商务系统中，大量不同商品评论的情感分析，如果去手动标注情感倾向（比如积极的、消极的、中立的）十分不现实，要有愚公移山的精神，那就是子子孙孙无穷匮也。但这样显然没有意义。这里针对有标记的数据的学习过程一般称为有监督的学习，无标记的，自然就是无监督（Unsupervised）学习了。而我们说的字典学习往往就是应用在无监督学习中。
稀疏表示原理
看了高维数据的特点，怎么解决呢？既然维度高了，那就降下来吧。所以问题就变成了，把高维数据用低维度表示的问题了。线代学得好的人这里可能想到了什么正交啊，基的问题。差不多就是这个意思。举个不是特别贴切的例子（实在找不到好理解的例子了），比如，你现在的位置怎么表述，东经多少，北纬多少，海拔多少，三个维度。但其实换一个说法，宿舍床上。一个维度。为啥维度变了呢，参照物变了，也就是所谓的基变了。这里的字典就是这个基。
学术一点表示，字典就是一个矩阵（n维），这个矩阵比之前的的高维数据（k维）的维度要低得多，即n<<k。数据对象y可以表示成y=a1 x1 +…+an xn
其中，xi 是字典的列向量，ai 是一个线性组合，称之为稀疏表示系数，整个ai 构成的矩阵记为A。所谓的稀疏表示，其实就是求这个系数的矩阵。为了实现稀疏，系数矩阵的很多值，都是0。
过完备字典完成稀疏表示理论计算理论
稀疏求解的方法
通常情况下，构造一个目标函数，让A里面尽可能的出现0，这里就出现了L0 范数的概念。但开始一般用L_ 1范数求解。为什么L1 可以实现稀疏化，这要从L0 （0范数）说起。L0 范数表示向量中非零元素的个数。Donoho证明了在完备字典构成的矩阵满足一定条件的时候，L0范数优化问题是有解的，而且是唯一解。这样的稀疏化即直观（稀疏就是让变量变少，也就是很多变量的系数变为0)，同时还有唯一解，为什么不用L0 范数，一定要o用L1 呢。很简单，L0 范数优化求解问题（L0 范数最小化）属于NP难问题（靠，又是这个东西）。当然，你可以用BMP，ROMP,OMP,OOMP,ORMP,SAMP等去求解L0 问题。然而，这些求解方法都是基于贪婪算法，效率很低，也就是说了等于白说。这时候，人类出大招了，Tao和Candes提出了近似求解该问题的方案，证明了在求解向量足够稀疏的情况下，L0 范数优化问题等价于L1 范数优化问题，即各向量分量绝对值之和。这样在多项式时间内就可以求解了，方法很多，不赘述了。
总之，L1 主要追求了稀疏化，对应的作为牺牲，则不能保证数据对象接近稀疏表示y，也就是说数据对象间的局部结构特征没有完全地体现出来。这也是LASSO的一个不足之处。
字典构造的方法
字典的构造式寻找稀疏表示下的最优基的构造，既要满足系数条件唯一性的约束，同时要得到更精确和更稀疏的表示。主要有两类方法：基于数据模型的字典构造和基于学习算法的字典构造。
- 基于基于数据模型的字典构：运用组合正交基等一定的数学分析工具得到稀疏字典，主要包括小波变化、离散余弦变换等等，好多。
- 基于学习算法的字典构造：这个方法是使用机器学习相关技术从训练样本集中学习字典，包括了稀疏表示和字典更新，也就是说，字典可以自动更新，找到更好的解了。听起来更加高大上了吧。经典的基于学习的构建方法是是产生K-means聚类过程的K-SVD算法，K-SVD通过迭代策略结合稀疏表示的更新一更新字典，从而加速收敛。
总结
说白了，什么是字典学习呢？主要是在面对高维数据时，我们不好处理，所以变成好处理的低维数据（降维）。在这个过程中，有基于模型的方法，也有更高大上的基于学习的方法，这时候需要字典学习。这个工作的主要就是求一个稀疏表示系数矩阵A。
