Leetcode中级算法-动态规划01

1. 感性认识“动态规划”

1. 基本概念

   是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，是一种解决这类过程优化问题的新方法。

2. 使用技巧：

   动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题！！！特别的 ，动态规划（Dynamic Programming）对于子问题重叠的情况特别有效，因为它将子问题的解保存在表格中，当需要某个子问题的解时，直接取值即可，从而避免重复计算！

3. 基本思想与策略

我们通过一个问题来引出：

提问：动态规划与分治法有什么不同？

   答：适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。

说明：具体的填表情况还是要看具体所涉及的情景，有时可能不需要保存全部的子状态，而只需要保存之前的1～2个状态即可。 比如：爬楼梯问题等

4. 适用的情况

1）两个必备要素

适合应用动态规划方法求解的最优化问题应该具备两个重要的要素：最优子结构和子问题重叠。

(a)最优子结构：问题的最优解由相关子问题的最优解组合而成，并且可以独立求解子问题！

(b)子问题重叠：递归过程反复的在求解相同的子问题。

2）三个性质

能采用动态规划求解的问题的一般要具有3个性质：

(a) 最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。

(b) 无后效性：即某阶段状态（定义的新子问题）一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与其以前的状态有关。

(c)有重叠子问题：即子问题之间是不独立的（分治法是独立的），一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）

比如下面的问题:相同颜色的子问题就被重复用到。

5. 求解的基本步骤

实际应用中可以按以下几个简化的步骤进行设计：

（1）分析最优解的性质，并刻画其结构特征，这一步的开始时一定要从子问题入手。

（2）定义最优解变量，定义递归最优解公式。

（3）以自底向上计算出最优值（或自顶向下的记忆化方式（即备忘录法））

（4）根据计算最优值时得到的信息，构造问题的最优解

2.实战

零钱兑换

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。
编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。
如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

示例 1:

输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出: 3 
解释: 11 = 5 + 5 + 1
示例 2:

输入: coins = [2], amount = 3
输出: -1
说明:
你可以认为每种硬币的数量是无限的。

思路： 首先我们根据以上所说的去思考。假如 amount == 11 ，那么它之前的状态可能就是 10，9，6 ，怎么来的呐？很显然就是11-1,11-2,11-5,要让11找的硬币数量最少，那么就是（10，9，6）找的硬币数量最少的那一个，之后继续按照这种思路进行思考。考虑到子问题重叠的情况，我们在实现的过程中对其进行填表。

如何实现：

   用待找零的数值k描述子结构/状态，记作MinCoinCount[k]，其值为所需的最小硬币数。对于不同的硬币面值coins[0…n]，有 MinCoinCount[k] = min(MinCoinCount[k-coin[0]] , MinCoinCountk-coin[1]], …)+1。对应于给定数目的找零amount，需要求解MinCoinCount[amount]的值。

通过源代码：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<limits.h>
using namespace std;
class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> MinCoinCount(amount+1, INT_MAX-1) ;
        MinCoinCount[0] = 0 ;
        //MinCoinCount[k]，(k为零钱数) MinCoinCount[k] 为所需的最小硬币数量
        for (int i = 1 ; i <= amount   ; ++i)
        {
            for (int j = 0; j < coins.size() ; ++j )
            {
                if ( i - coins[j] >= 0 && 
                MinCoinCount[i - coins[j]]+1  < MinCoinCount[i])

                    MinCoinCount[i] = MinCoinCount[i - coins[j]] + 1 ;
            }
        }
        if (MinCoinCount[amount] == INT_MAX-1  )
            return -1 ;
        else
            return MinCoinCount[amount];
    }
};

参考文章：

https://blog.csdn.net/roslei/article/details/60867423
建议没事干的时候把这东西看看：^_^
https://www.sohu.com/a/153858619_466939