Leetcode中级算法-动态规划03(最长上升子序列)

最长上升子序列（LIS）的定义：

   一个数的序列bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

三种求解方法：

1. O(n^2)的DP
2. O(nlogn)的二分+贪心法
3. O(nlogn)的树状数组优化的DP

题目：Longest Increasing Subsequence

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。
说明:

可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。
进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?

感性思路：简单DP，不一样的配方，一样的套路。想要求得最长上升子序列的长度，来源只有一种——前一个最长上升子序列的长度+1 ，据此就得到了状态转移方程 。

如何实现：用F[i] 来表示该位置最长上升子序列的长度，那么我们就扫描i之前的元素，如果前面的元素比nums[i]小，我们就让该位置的长度=前面最大的最长上升子序列的长度加1，即“F[i]=max{F[j]+1}( 0< j < i, A[j] < A[i] )” 。需要注意的是必须是前面的最大的最长上升子序列的长度加1 ！！！ 比如：

1, 3, 6, 7, 9, 4, 10, 5, 6

对应的 F[ i ] 是：

1，2，3，4，5，3，  x

当算到 x 的时候，如果不是前面的最大的最长上升子序列的长度加1的话x的位置就会变成4，这是我们所不希望的 。

1. O(n^2)的DP

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std ;
class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int TT = nums.size()  ;
        if( TT == 0)
            return 0;
        vector<int> F(TT,1);
        for (int i = 0; i < TT ; ++i)
        {
            for (int j = 0; j < i ; ++j )
            {
                if(nums[j] < nums[i]  ){
                    //这里需要注意一下
                    F[i] = max(F[j] + 1 ,F[i]);
                }       
            }
        }
        int max =  F[0] ;
        for(auto i:F ){
            if(i > max )
                max =  i ;
        }
        return max  ;
    }
};

2. O(nlogn)的二分+贪心法（暂略）

3. O(nlogn)的树状数组优化的DP（暂略）

参考链接：
https://blog.csdn.net/George__Yu/article/details/75896330