HDU 1028(数字拆分 分治)

题意是求所给的数能够被拆分成的不同组合数目。

方法有三种：

一、完全背包。

限制条件：所用数字不大于 n。

目标：求分解种数（组合出 n 的方法数)。

令 dp[ i ][ j ] = x 表示 用前 i 种数字组合出数字 j 有 x 种方法。

状态转移方程：dp[ i ][ j ] = dp[ i -1 ][ j ] + dp[ i ][ j - num[i] ] 

方程解释：前 i 种数字组合出数字 j 的方法数 = 前 i - 1 种数字组合出数字 j 的方法数（不用第 i 种数字）+ 至少用一次第 i 种数字的方法数。

用滚动数组求解，代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[122];
void init()
{
    dp[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 122; ++i)
        for(int j = i; j <= 122; ++j)
            dp[j] += dp[j-i];
}
int main()
{
    int n;
    init();
    while(~scanf("%d",&n))
        printf("%d\n",dp[n]);
    return 0;
}

 

二、分治。

令 sol(a, b) 表示 a 被最大数字为 b 的数字分解成的种数。则

当 a == 1 && b == 1 时，只能分解成 1 种；

当 a < 1 || b < 1 时，一种也没有，即只能分解成 0 种；

当 a == b 时，则 分解种数 = 含 b 的数字分解种数（仅 1 种） +  不含 b 的数字分解种数，即 sol(a, b) = 1 + sol(a, b - 1)；

当 a < b 时，则 分解种数 = 最大数字为 a 的分解种数，即 sol(a, b) = sol(a, a)；

当 a > b 时，则 分解种数 = 没有 b 的数字分解种数 + 至少含有 1 个 b 的数字分解种数，即 sol(a, b) = sol(a, b-1) + sol(a-b, b)。

打表求解，代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[121]={0,1,2,3,5,7,11,15,22,
30,42,56,77,101,135,176,231,297,385,490,
627,792,1002,1255,1575,1958,2436,3010,3718,
4565,5604,6842,8349,10143,12310,14883,17977,
21637,26015,31185,37338,44583,53174,63261,
75175,89134,105558,124754,147273,173525,204226,
239943,281589,329931,386155,451276,526823,614154,
715220,831820,966467,1121505,1300156,1505499,
1741630,2012558,2323520,2679689,3087735,3554345,
4087968,4697205,5392783,6185689,7089500,8118264,
9289091,10619863,12132164,13848650,15796476,18004327,
20506255,23338469,26543660,30167357,34262962,38887673,
44108109,49995925,56634173,64112359,72533807,82010177,
92669720,104651419,118114304,133230930,150198136,
169229875,190569292,214481126,241265379,271248950,
304801365,342325709,384276336,431149389,483502844,
541946240,607163746,679903203,761002156,851376628,
952050665,1064144451,1188908248,1327710076,1482074143,
1653668665,1844349560};
//数组的求解方法 
//int sol(int a,int b)
//{
//    if(a==1||b==1) return 1;
//    else if(a<1||b<1) return 0;
//    else if(a==b) return sol(a,b-1)+1;
//    else if(a>b) return sol(a,b-1)+sol(a-b,b);
//    else if(a<b) return sol(a,a);
//}
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
        printf("%d\n",a[n]);
    return 0;
}

 

三、母函数。

本题的做法与 HDU 1284 类似，要查看母函数的相关讲解请点这里