什么是图灵完备？手把手教你证明brainfuck的图灵完备性

Intro

上篇文章中对图灵机的讨论是错误的，因为那篇文章中试图去使用一个具体的机器去指代图灵机，这会造成极大的误解。
本文将会解决这些问题。

Tips:发现错漏请指出，我尽力修改( ;´д`)

图灵机

图灵机的形式化定义如下

图灵机是一个七元组( $Q, Σ, Γ, δ, q_{0}, q_{a c c e p t}, q_{r e j e c t}$ )其中 $Q, Σ, Γ$ 都是有穷集合。

$Q$ 是状态集

$Σ$ 是输入字母表，不包括空白符号 $⊔$

$Γ$ 是带字母表，其中 $⊔ \in Γ, Σ \subseteq Γ$

$δ : Q \times Γ \to Q \times Γ \times {L, R}$ 是转移函数

$q_{0} \in Q$ 是起始状态

$q_{a c c e p t} \in Q$ 是接收状态

$q_{r e j e c t} \in Q$ 是拒接状态，并且 $q_{r e j e c c t} \neq q_{a c c e p t}$

图灵机 $M$ 的工作方式如下：

$M$ 接收方格带上的输入 $w = w_{1} w_{2} . . . w_{n} \in Σ^{*}$ ，方格带上除去 $w$ 其余保持空白（填入空白符号）。
$M$ 开始运行，按转移函数所描述的规则运行。如果读写头在最左端试图左移，则读写头不动，其他照常运行。
不断运行直到 $M$ 进入接收状态或者拒绝状态。
如果最终 $M$ 无法进入这两种状态，则M将永远运行下去，不会停机。

图灵机可以形式化描述，图灵机的计算过程自然也能形式化描述。这需要引入一个新的概念——格局。

图灵机计算过程中，将当前状态、当前带内容与读写头位置组合在一起，称为图灵机的格局。
格局常以特殊的方法表示，对于状态 $q$ 与当前带上被读写头分割的两个字符串 $u$ 和 $v$ ，以 $u q v$ 表示如下格局：
当前状态是 $q$ ，当前带内容是 $u v$ ，读写头当前的位置是 $v$ 的第一个附后，带上 $v$ 的最后一个符号之后的符号都是空白符。

如果图灵机能从格局 $C_{1}$ 一步进入 $C_{2}$ ，则称格局 $C_{1}$ 产生格局 $C_{2}$
于是，对图灵机计算进行形式化描述即为：

设 $a, b, c$ 均为 $Γ$ 中的符号， $u$ 和 $v$ 是 $Γ^{*}$ 中的字符串， $q_{i}$ 和 $q_{j}$ 是状态，则 $u a q_{i} b v$ 和 $u q_{j} a c v$ 是两个格局，如果转移函数满足 $δ (q_{i}, b) = (q_{j}, c, L)$ 则说：
$u a q_{i} b v$ 产生 $u q_{j} a c v$
上面是左移的情形，下面是右移的情形：
如果 $δ (q_{i}, b) = (q_{j}, c, R)$ ，则说
$u a q_{i} b v$ 产生 $u a c q_{i} v$
当读写头处于左端点或者右端点时，这个情形会发生变化，
左端点下，左移是 $q_{i} b v$ 产生 $q_{j} c v$ ，右移是 $q_{i} b v$ 产生 $c q_{j} v$
右端点下， $u a q_{i}$ 等价于 $u a q_{i} ⊔$ ，这是由于假设了带子上没有描述的位置都是空白符，这样就只需要正常处理就行了。

M在输入 $w$ 上的起始格局是 $q_{0} w$ ，表示机器处在起始状态，且读写头在最左端。
处在接受状态的格局是接受格局；处在拒绝状态的格局是拒绝格局。
接受与拒绝状态都是停机状态，它们不产生新的格局。

于是我们形式化了图灵机的工作方式。
此时一个确定的输入 $w$ 存在着一个确定的格局序列 $C_{1}, C_{2}, C_{3} . . . C_{k}$ 。
如果格局序列满足：

$C_{1}$ 是 $M$ 在输入 $w$ 上的起始格局。
每一个 $C_{i}$ 产生 $C_{i + 1}$ 。
$C_{k}$ 是接受格局。

我们就认为M接受输入 $w$ 。
$M$ 接受的字符串的集合称为M的语言，记作 $L (M)$

如果一个语言能被某一图灵机识别，则称该语言是图灵可识别的

我们可以很自然的想到，当图灵机接收一个输入，最终只会处在三种状态：接受、拒绝、不停机。

于是，现在我们有了一个较为准确的对图灵机的描述。

图灵完备

众所周知，想要证明一个系统是图灵完备的，就需要使得它能模拟图灵机的所有行为。

本部分思路来自Frans Faase；发现未知宏可参考Alva L. Couch的文章

brainfuck

依据前面的内容我们不难发现，一台确定的图灵机 $M$ 在接收一个确定的输入 $w$ 时，会产生一个确定的格局序列 $C_{1}, C_{2}, C_{3} . . . C_{k}$

也就是说，图灵机的运行，可以写成一长串的格局序列。这意味着，只要能找到一个方法，让brainfuck正确的表示出这一串格局序列，就能用brainfuck模拟图灵机。

所以，我们需要找到一个办法，来让brainfuck可以描述出每一个格局。并实现格局到下一个格局的产生。

由前面的内容我们可以知道，一个格局记录3种信息：当前状态、读写头位置、当前带内容。

想用brainfuck来表达这些信息，先要做一些简单的准备工作。
我们知道一台图灵机 $M = (Q, Σ, Γ, δ, q_{0}, q_{a c c e p t}, q_{r e j e c t})$ 。不难看出，一种图灵机仅有两种符号—— $状态 \in Q$ 和 $符号 \in Γ$

先映射 $Γ$ 到自然数 $0$ ~ $n - 1$ ， $n$ 为符号数。特别的，先将空白符 $⊔$ 映射到 $0$ ，记作 $⊔ \to 0$ 。
再映射 $Q$ 到自然数 $0$ ~ $m - 1$ ， $m$ 为状态数。特别的， $q_{0} \to 0; q_{a c c e p t} \to 1; q_{r e j e c t} \to 2;$ 。

这样，我们就能用数字来表达图灵机的全部符号了。
于是乎，我们可以开始用brainfuck来表示格局了。
当前带内容可以是是无限的，但是没关系，brainfuck能操作的数组也是无限长的。但很快我们就发现了，brainfuck的指针并不能储存状态。我们将不得不将一些额外的信息储存在数组上，并且，brainfuck想要对数据进行操作，几乎不可避免地需要一些额外的空间，但brainfuck只有一个数组。好在它是无限长的，就如希尔伯特所提出的无限旅馆问题那样，我们的这个数组完全足够。

我们规定数组的一第个位置用于储存状态，第二个位置用于储存读写头位置，第三个位置用来储存读写头当前指向的字符，第四个位置用来作为新状态的临时储存，第五个位置用来做新的读写头位置的临时储存，第六个位置用来做新字符的临时储存。
并且，由于brainfuck对数据的操作需要一些额外的空间，所以我们额外分配五个位置做临时存储位置。
后续的数组便用来存储当前带上的字符串。
所以，我们的数组是这样的

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	...
state	head	cursymbol	newstate	newhead	newsymbol	t1	t2	t3	t4	t5	tape0	...

我们规定数组前面的部分（0~10）为操作区，后续部分为纸带区。

brainfuck宏

brainfuck的可读性并不好，所以我们需要一些宏，用来提高可读性。

# 首先我们需要一个用来寻址的宏to()，它将展开成多个`<>`，能精确地移动到正确的位置。
# 并且我们规定这个宏只能用在操作区与纸带的第一个位置tape0之间的移动。


# 用to()给循环指定判断位置[]
for(x) = to(X)[;
next(x) = to(X)-];

# 用to()精确操作数
dec(x) = to(x)-;
inc(x) = to(x)+;

# 将s上的数字移动到d。 
move(s,d) = to(s) [ to(d) + to(s) - ];

# 如何拷贝呢？移动不只可以执行一次。
move2(s,d1,d2)= {
	for(s)
		to(d1) +
		to(d2) +
	next(s)
	}

copy(s,d,t) = move2(s,d,t) move(t,s);

# [条件判断是brainfuck唯一的条件判断，我们需要让它变得更加好用一点。

# 首先我们需要一个可以在任意位置写入0的宏。
zero(a) = to(a) [-];

# 于是现在有条件判断了。
if(a) = to(a) [;
endif(a) = zero(a) ];

ifelse(a,t) = inc(t) if(a) dec(t);
else(a,t) = endif(a) if(t);
endelse(t) = endif(t);

# 由于[是一个零跳转，所以我们很自然的认为0是False，而其余的数则是True，于是可以有逻辑运算
# 值得注意的是，三种逻辑操作都会使得原操作数被清零。s是被操作的数，d是结果输出的位置。
or(s1,s2,d) = move(s1,d) move(s2,d);
and(s1,s2,d) = if(s1) move(s2,d) endif(s1) zero(s2);
not(s,d) = inc(d) if(s) dec(d) endif(s);

# 与常数比较
# 与零比较，其实就是进行not()操作，至于其他的数？1-1=0,2-1=1...
isZero(s,d) = not(s,d);
isOne(s,d) = if(s) dec(s) isZero(s,d) endif(s);
isTwo(s,d) = if(s) dec(s) isOne(s,d) endif(s);
isThree(s,d) = if(s) dec(s) isTwo(s,d) endif(s);
....

# 图灵机运行就是不断产生新格局的过程，所以我们还需要另一个循环——while
while(X) = to(X)[;
wend(X)  = to(X)];

# 接下来要处理读写头的读写操作，我们需要新的移动宏，用来移动到纸带上。
# 这是两个特殊的宏，它只有在输入被确定后才替换。
# {(*head)*>}意思是写入head位置储存的值相等数量的'>'，后面的同理
totape() = to(tape0){(*head)*>};
back() = {(*head)*<}

# 获取/写入字符
# 其实这是一个改写过的copy()，将纸带上对应的符号复制到操作区里。
getsymbol(x,t1) ={
	totape()[
		back()
		to(d1) +
		back()
		to(d2) +
	totape()-]
	back()
	to(t1) [ totape() + back()to(t1) - ]
}

setsymbol(x) ={
	totape()
	[-]
	back()
	to(x) [ totape() + back()to(x) - ]
}
;

brainfuck is Turing complete

将指针位置存放在操作区，仅在读写纸带时前往纸带区。

依据上面所给的规定，我们来处理程序的主体部分。
它做了5件事：

判断是否停机
读取字符
按照转移函数产生一个新格局
写入更改
循环回到开头

IsOne(state,t1)
IsTwo(state,t2)
and(t1,t2,t3)
not(t3,t1)
while(t1)

getsymbol(cursymbol,t1)

/***map***/

setsymbol(newsymbol)

zero(cursymbol)
zero(head) move(newhead,head,t1)
zero(state) move(newstate,state,t1)

IsOne(state,t1)
IsTwo(state,t2)
and(t1,t2,t3)
not(t3,t1)
wend(t1)

接下来我们需要给每一个 $δ$ 定义一个映射函数
我们定义一个映射模板map。它在接受输入后，与自身规则做比较，如果不匹配，则什么都不做。
map用到了十一个参数，其中的astate,asymbol,anewstate,anewsymbol,movement,是根据相应的 $δ$ 填入的。我们需要给每一条转移函数映射一个相应的map，之后，我们只要将所有的map插进循环里，就能完成程序的主体部分了。

map(state,head,cursymbol,
  astate,asymbol,anewstate,anewsymbol,movement,
  newstate,newhead,newsymbol)
=
{
# 判断是否匹配了正确的转移函数，如果不是则直接退出。
copy(state,t1,t1)
write(t2,astate)
Equal(t1,t2,t3,t4,t5)
if(t3)
	copy(cursymbol,t1,t2)
	write(t2,asymbol)
	Equal(t1,t2,t3,t4,t5)
	if(t3)
		# 按规则写入新的符号、状态并进行移动。
		write(newstate,anewstate)
		write(newsymbol,anewymbol)
		copy(head,newhead,t1)
		ifelse(movement,t1)
			inc(newhead)
		else(movement,t1)
			dec(newhead)
		endelse(t1)
	endif(t3)
endif(t3)
}

这样，只要确定图灵机的种类与输入，我们就能将它翻译为一个brainfuck程序。
在完成运行后，只要打印出数组，就能得到这台机器运行的结果。
我们相信这个程序能翻译任何一台图灵机，并且模拟它的运行，因此可以说brainfuck是图灵完备的。

Reference

BF is Turing-complete-Frans Faase:https://www.iwriteiam.nl/Ha_bf_Turing.html
An introduction to programming in BF-Frans Faase:https://www.iwriteiam.nl/Ha_bf_intro.html
Bfmacro: a bf macro-interpreter-Alva L. Couch:http://www.cs.tufts.edu/~couch/bfmacro/bfmacro/
《计算理论引导》-Michael Sipser -机械工业出版社

posted @ 2024-10-07 13:36 TashiKani 阅读(240) 评论(0) 编辑收藏举报

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