【网络流二十四题】最小路径覆盖

题目

解析：

先说做法，拆点。把每一个点拆成两个点分别表示为以该点为起点和终点。做二分图最大匹配，答案为点数减去最大匹配数。
我们可以这样理解。当图中没有边时，最小路径数为$n$，又因为题目保证图中没有环，所以我们每连一条边就将一个点纳入一个路径中，则路径数减一，又因总点数不变，所以最终目标是在保证没有点同时在两个路径中的情况下尽量连多的边。而通过拆点二分图匹配的方式，就能完美地解决这个问题。因为二分图匹配保证每个点的出度为1入度均为1并最大化连边个数。
关于输出方案，只需记录每个点的前驱后继再dfs即可。

code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int Maxn=405;
const int Maxm=7000;
const int inf=1e9;
int n,m,size=-1,ans,s,t;
int first[Maxn],dep[Maxn],tmp[Maxn],pr[Maxn],nx[Maxn];
struct shu{int to,next,len;}edge[Maxm<<1];

inline int get_int()
{
	int x=0,f=1;char c;
	for(c=getchar();(!isdigit(c)&&(c!='-'));c=getchar());
	if(c=='-') f=-1,c=getchar();
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
	return x*f;
}

inline void build(int x,int y,int z)
{
	edge[++size].next=first[x],first[x]=size,edge[size].to=y,edge[size].len=z;
}

inline void init()
{
	n=get_int(),m=get_int(),s=0,t=2*n+1;
	for(int i=s;i<=t;i++) first[i]=-1;
	for(int i=1;i<=n;i++) build(s,i,1),build(i,s,0);
	for(int i=n+1;i<=2*n;i++) build(i,t,1),build(t,i,0);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
	  int x=get_int(),y=get_int();
	  build(x,y+n,1),build(y+n,x,0);
	}
}

inline bool bfs()
{
	queue<int>q;
	for(int i=s;i<=t;i++) dep[i]=0;
	dep[s]=1,q.push(s);
	while(q.size())
	{
	  int p=q.front();q.pop();
	  for(int u=first[p];~u;u=edge[u].next)
	  {
	  	int to=edge[u].to;
	  	if(dep[to] || !edge[u].len) continue;
	  	dep[to]=dep[p]+1,q.push(to);
	  	if(to==t) return 1;
	  }
	}
	return 0;
}

inline int dfs(int p,int flow)
{
	if(p==t) return flow;
	int sum=0;
	for(int &u=tmp[p];~u;u=edge[u].next)
	{
	  int to=edge[u].to;
	  if(dep[to]!=dep[p]+1 || !edge[u].len) continue;
	  int minn=dfs(to,min(flow-sum,edge[u].len));
	  edge[u].len-=minn,edge[u^1].len+=minn,sum+=minn;
	  if(sum==flow) break;
	}
	return sum;
}

inline void find(int p)
{
	while(1)
	{
	  cout<<p<<" ";
	  if(!nx[p]) break;
	  p=nx[p];
	}
	cout<<"\n";
}

inline void solve()
{
	while(bfs())
	{
	  for(int i=s;i<=t;i++) tmp[i]=first[i];
	  ans+=dfs(s,inf);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  for(int u=first[i];~u;u=edge[u].next)
	  {
	  	int to=edge[u].to;
	  	if(u%2 || edge[u].len) continue;
	  	pr[to-n]=i,nx[i]=to-n;
	  }
	for(int i=1;i<=n;i++) if(!pr[i]) find(i);
	cout<<n-ans;
}

int main()
{
	freopen("lx.in","r",stdin);

	init();
	solve();
	return 0;
}