1.9模拟赛题解

T1

从左到右扫描，首先如果 $a_i<b_i$ 那么一定无解，否则不断在其右边找最近的 $j$ 使得 $a_j\in [b_i,a_i]$，把 $a_i$ 和 $a_j$ 交换。感性理解这是对的。

T2

先证操作次数不大于 $2$。考虑第一次把所有 $i>j$ 的边删除，第二次把 $i<j$ 的边删除，易知这样操作符合要求。

因此只要能买到一个环，答案即为 $2$；否则为 $1$。问题转化为求最小环。

考虑把每个点拆成出点和入点，自己的入点向自己的出点连边，对于原图中的边 $i\to j$，在新图中从 $i$ 的出点向 $j$ 的入点连边。跑 $n$ 遍 Dijkstra 即可。

T3

直接在最短路图上爆搜。由于 $n$ 只有 $50$，因此时间复杂度的上界大约为 $O(3^{\frac{50}{3}})$，这是能过的。

T4

容易发现 $c_i=a_i+b_i+[a_j+b_j\ge 10]$，其中 $j$ 为 $i$ 右边最近的满足 $a_j+b_j\ne 9$ 的位置。

一次修改发生时，如果第 $i$ 位从进位变成不进位，或者从不进位变成进位，那么影响会一直持续到 $i$ 左边最近的满足 $a_j+b_j\ne 9$ 的位置。

所以用一个数据结构维护所有 $a_i+b_i\ne 9$ 的位置，需要支持插入、删除、查询前驱和后继。考虑使用 set，时间复杂度 $O(n\log n)$。

警钟敲烂：对 set 直接使用 algorithm 库的 lower_bound 的时间复杂度为 $O(n)$，需要使用 set 自带的 lower_bound！