1.16模拟赛题解

T1

对于区间 $[1,i]$ 的划分方案，划分长度一定是 $i$ 的因数，因此考虑暴力枚举区间长度。

问题转化为快速 check 一段区间是不是美丽的。

首先，区间内的 $-1$ 一定要么全部变成左边的第一个非 $-1$ 值，要么全部变成右边的第一个。这样就处理掉了所有的 $-1$，只需要考虑确定的值了。

考虑利用 st 表求出区间内最大值的位置，再用两个 st 表维护差分序列，check 两边是否是单调的。单次 check 的复杂度就做到了 $O(1)$。

总复杂度 $O(n\log n)$。

T2

考虑暴力转移，得到方程 $d{p}_{i,j}=min\{d{p}_{k,j-1}+max\{a_{k+1}\cdots a_i\}\}$。

考虑优化。设 $min{x}_i$ 表示钦定 $a_i$ 为区间最大值时的最优决策点。维护单调栈，每次 pop 掉一个元素时都对 $min{x}_i$ 进行 chkmin。另一种可能是 $a_i$ 不是最大值，那么需要把它与它左边第一个大于它的位置的 dp 值取 min。

时间复杂度 $O(n^2)$。

T3

暴力。

T4

设 $d{p}_{i,j}$ 表示前 $i$ 个按键，第 $i$ 个按键为 $j$ 的方案数。

那么 $d{p}_{i,j}$ 能够转移到 $d{p}_{k,j+1}$ 就代表 $t_{i,k}\in [p_j-L,p_j+L]$。

注意到 $t$ 具有单调性，因此可以直接二分找到转移区间，然后差分维护。

时间复杂度 $O(nk\log k)$。