GCD构造排列

合集 - 有意思的题目(7)

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2.GCD构造排列2024-06-03

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题目

给定一个长度为n的数组$a$，试复原长度为n的排列$p$
其中$a_i=gcd(p_1,p_2,...,p_i)$，也就是说，$a_i$表示排列$p$中前$i$个数字的最大公约数。
(由于数组$a$可能是错误的，故有可能无解，此时输出$-1$即可)
https://ac.nowcoder.com/acm/problem/269091

Input

输入包括两行
第一行一个正整数$n(1\le n\le 2\times {10}^5)$表示数组$a$的长度。
第二行$n$个正整数$a_i(1\le a_i\le n)$表示数组$a$中的元素。

4
4 2 1 1

Output

输出一行包含$n$个整数，表示符合条件的排列$p$，如果有多解则输出任意一个。
无解则输出$-1$

4 2 1 3

说明
$a_1=gcd(p_1)=4$
$a_2=gcd(p_1,p_2)=2$
$a_3=gcd(p_1,p_2,p_3)=1$
$a_4=gcd(p_1,p_2,p_3,p_4)=1$

题解

解题思路

首先，判断$a$数组的正确性，根据最大公约数的定义，随着$i$的递增，$a_i$的值应该逐渐变小，且第$i$个数应该是第$i-1$个数的因数，即$(i-1)modi==0$

随后开始构造，由于是排列，因此需要设立一个$vis$数组判断当前的数没有被填过，对于每一个位置，观察到相邻两个位置之间如果可以填最大公约数非$1$的数时，此时$a$数组相邻的两个数不相等。

如果$a$数组中相邻两个数相等时，则$p$排列中这两个数互质，即可以通过从较小的数加上$a_i$获得更大的数字填入排列。

如果完成上述步骤后仍然无法填上任何数字，则证明数组$a$是错误的，输出$-1$。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;
typedef long long LL;

int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}

void solve(){
	int n;cin>>n;
    vector<int> a(n+1);
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        if(i>=2 and a[i-1]%a[i]!=0){
            cout<<"-1"<<endl;
            return;
        }
    }
    vector<int> ans(n+1);
    vector<bool> vis(n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(a[i]!=a[i-1]){
            ans[i]=a[i];
        }
        else{
            for(int j=ans[i-1]+a[i];j<=n;j+=a[i]){
                if(!vis[j] and gcd(a[i-1],j)==a[i]){
                    ans[i]=j;
                    break;
                }
            }
            if(!ans[i]){
                cout<<"-1"<<endl;
                return;
            }
        }
        vis[ans[i]]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<ans[i]<<" ";
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr);
	int t=1;
	//cin>>t;
	while(t--) solve();
	return 0;
}