算法 | 【分治策略 || 排列树 & 子集树】——全排列、求子集问题...

全排列问题

设 $R=\{r_1,r_2,... \ r_n\}$ 是要进行排列的n个元素, $R_i=R-\{r_i\}$ 。集合X中元素的全排列记为 $perm(X)$ 。$(r_1)perm(X)$ 表示在全排列 $perm(X)$ 的每一个排列前加上前缀 $r_i$ ,得到的排列。$R$ 的全排列可归纳定义如下:

• 当 $n=l$ 时，$perm(R)=(r)$，其中 r 是集合 R 中唯一的元素;
• 当 $n>1$ 时，$perm(R)$ 由 $(r_1)perm(R_1) , (r_2)perm(R_2) , ... , (r_n)perm(R_n)$ 构成。

分析：

对于 Ri = R-{ri}分析：
设 R = {1,2,3}   n = 3， 则有：
R1 = r-{r1} = {2,3}   R2 = R-{r2} = {1,3}   R3 = R-{r3} = {1,2}

对于 {1,2,3}的全排列有：
	1 2 3 
	1 3 2
	2 1 3
	2 3 1
	3 2 1
	3 1 2

依此递归定义，可设计产生 perm(R) 的递归过程:

						{ 1 , 2 , 3 }						初始集合 {1,2,3}
					   /      |      \
					 /        |        \
			 (1)p{2,3}    (2)p{1,3}   (3)p{1,2}				每次从中取一个数据
	       /      |        |     |       |      \
	      /       |        |     |       |       \  
	  (2)p{3}  (3)p{2} (1)p{3} (3)p{1}  (1)p{2}  (2)p{1} 	再次在前一次的基础上取一个数据
	     |        |        |     |       |         |
	     |        |        |     |       |         |
	     3        2        3     1       2         1		直至该集合只剩一个元素
	     ↓        ↓        ↓     ↓       ↓         ↓
	     ↓        ↓        ↓     ↓       ↓         ↓
	【1,2,3】 【1,3,2】【2,1,3】【2,3,1】【3,1,2】【3,2,1】	按照每次取出的数据顺序，形成排列

递归算法设计：

设有 ar = {1,2,3} ，设计递归函数 Perm(ar,i,m) ，其中 i 待提取元素的下标，m 为集合下标的最大值max_index。

• 第一层递归，提取 (ri)Perm{Ri} 。格式为 (ar[0])Perm(ar,0,2)
• 第二层递归，提取 (ri)Perm{Ri} 。格式为 (ar[1])Perm(ar,1,2)
• 第三层递归，提取 (ri)Perm{Ri} 。格式为 (ar[2])Perm(ar,2,2)
• 得到序列 $\{ar[0],ar[1],ar[2]\}$

其中，我们规定，$ar[i]$ 为每次递归提取的数，$(i, m]$区间内为集合剩余元素 。核心算法：在递归内使用 循环+交换 的方式，在每次递归时分别把每个元素提取到 $ar[i]$ 位置，使$(i, m]$区间内的元素继续下一次递归，直至集合内只剩一个元素。

#include<iostream>
using namespace std;

void Swap(int& a, int& b)
{
	int c = a;
	a = b;
	b = c;
}

void Perm(int *ar,int i,int m)
{
	if (i == m)	// 只剩一个元素,打印{ar[0],ar[1],ar[2]}
	{
		for (int k = 0; k <= m; ++k)
		{
			cout << ar[k] << " ";
		}
		cout << endl;
	}
	else
	{
		for (int k = i; k <= m; ++k)	// 使用循环，保证 1，2，3 都被提取一次
		{
			/*
				ar[i] 的位置是被提取的位置
				在第一次递归时，提取ar[0]，第二次ar[1]，第 ...
				因此，分别把集合中的每个元素放在提取位，使之被提取出集合
			*/
			Swap(ar[i], ar[k]);
			Perm(ar, i + 1, m);	// 提取 i~m 之间的元素
			Swap(ar[i], ar[k]);
		}

	}
}


int main()
{
	int ar[] = { 1,2,3 };
	int n = sizeof(ar) / sizeof(ar[0]);
	Perm(ar,0,n-1);
	return 0;
}

求子集问题

基本性质：
非空集合A中含有n个元素，$A=\{1,2,3, ...\ ... n\}$，则

• A的子集个数为$2^n$。
• A的真子集的个数为$2^n-1$
• A的非空子集的个数为$2^n-1$
• A的非空真子集的个数为$2^n-2$

举个栗子：
A={1,2,3}，则他的子集有：

• 特殊元素：φ
• 一位元素：{1}、{2}、{3}
• 二位元素：{1,2}、{1,3}、{2,3}
• 三位元素：{1,2,3}

子集数：$2^3=8$
真子集数：$2^3-1=7$ ，没有 {1,2,3}
非空子集数：$2^3-1=7$，没有 φ
非空真子集数：$2^3-2=6$，没有 {1,2,3} 和 φ

算法分析：
通过观察子集与集合本身的特点，我们发现子集其实是集合本身某一元素的缺失。

如：

• 集合｛1，2，3｝==> 子集｛1，2｝，缺失 3，或者说只存在 1，2
• 集合｛1，2，3｝==> 子集｛1｝，缺失 2，3，或者说只存在 1

因此，我们发现集合中每个元素的属性只用两种，要么出现，要么不出现。

类比我们学过的一种数据结构——二叉树。二叉树只有左右结点，其中满二叉树除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点的二叉树。并且，满二叉树的最后一层节点个数为 $2^n$ 个，其中 n 为树的深度。

结合以上两者的特点，做出如下分析：

1表示出现，0表示隐藏
0 0 0   		 	    φ
0 0 1					3
0 1 0					2
0 1 1					2 3
1 0 0					1
1 0 1					1 3
1 1 0					1 2
1 1 1					1 2 3

满二叉树：

算法设计：

生成满二叉树算法。代码分析请看：【递归调用陷阱】

void fun(int i, int n)
{
	if (i >= n)
	{
	}
	else
	{
		fun1(i + 1, n);	// 左子树
		fun1(i + 1, n);	// 右子树
	}

}

使用数组 br[] 标记二叉树的左右的编码。

代码实现如下：

#include <iostream>
using namespace std;

void subset(int *ar,int *br,int i, int n)
{
	if (i >= n)
	{
		int i = 0;
		while (i < n)
		{
			if(br[i] == 1)
				cout << ar[i] << " ";
			i++;
		}
		cout << endl;
	}
	else
	{
		br[i] = 0;		/* 左边记为0  */
		subset(ar, br, i + 1, n);	/* 进入左孩子 */
		br[i] = 1;		/* 右边记为1 */
		subset(ar, br, i + 1, n);	/* 进入右孩子 */

	}
}

int main()
{
	int ar[] = { 1,2,3 };	
	int br[] = { 0,0,0 };
	subset(ar, br, 0, 3);
	return 0;
}

本次我们使用递归的方式完成了全排列，和求子集的问题。如果，为了追求效率我们还可以使用循环的方式去设计算法。

在设计全排列递归实现时，我们使用了排列树进行实现。在设计子集问题的递归实现时，我们使用了子集树进行实现。其中排列树和子集树正如他们的命名一般，前者是对不同元素的排列组合，后者是对不同元素的取舍。

排列树和子集树在很多金典算法中都有涉及。如，排列数可以用来解决图的最短路径问题，子集树可以用来解决如01背包的n个物品中若干取值的最优解问题。

本章通过全排列问题和求子集问题粗浅的了解了排列树和子集树，后续我将继续分享两种问题的非递归实现方法，以及 01 背包等经典算法。

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