[离散时间信号处理学习笔记] 6. 离散时间傅里叶变换
要理解这节课的内容需要先对傅里叶变换有一定程度的了解，这里主要分析的是离散时间傅里叶变换，这部分算是从傅里叶变换到离散傅里叶变换的过渡内容。推荐阅读[傅里叶变换及其应用学习笔记] 课程概览中离散傅里叶变换开头的相关课程。
离散时间傅里叶变换
离散时间傅里叶变换（Discrete-Time Fourier Transform），简称DTFT，DTFT是从傅里叶变换（FT）中的来的。
从FT到DTFT
FT的分析对象是时域上的连续时间函数$x(t)$，DTFT的分析对象是对时域上的序列$x[n]$。两者间有如下关系：
$x[n] = x(n), -\infty<n<\infty$
$x[n]$相当于$x(t)$在$n$上的取样，不过$x[n]$终究是离散序列，为了使它跟傅里叶变换扯上关系，有必要把$x[n]$转化成连续时间函数。而数学上可以用原函数与脉冲函数的乘积来表示取样。
$\begin{align*}
x_s(t) &= x(t) \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-n)\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)\delta(t-n)\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\delta(t-n)
\end{align*}$
此时，上述取样仍然为连续时间函数，对它进行傅里叶变换
$\begin{align*}
X_s(e^{j\omega}) = \mathcal{F}x_s(t) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\mathcal{F}\delta(t-n)\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}
\end{align*}$
即得到
$\color{red}{X(e^{j\omega}) = \displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n} }}$
这个式子就被称为DTFT。其中变量$\omega$为频率。那么相对地，通过$X(e^{j\omega})$来还原序列$x[n]$的式子就被称为IDTFT（可以从傅里叶级数的式子进行推导得到）
$\color{red}{\displaystyle{x[n] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega }}$
对于DTFT，套用推导傅里叶级数的思想：在时域上有一个序列$x[n]$，组成它幂级数$e^{j\omega n}$的频率分布在$(-\pi,\pi)$之间，在频域上呈现出一个函数$X(e^{j\omega})$。
一般来说，序列在进行DTFT后得到的是一个变量为$\omega$的复函数，这点和频率响应一样，它可以表示为实部与虚部的形式
$X(e^{j\omega}) = X_R(e^{j\omega})+jX_I(e^{j\omega})$
也可以表示为幅度与相位的形式
$X(e^{j\omega}) = |X(e^{j\omega})|e^{j\angle X(e^{j\omega})}$
DTFT与频率响应
频率响应有如下定义
$H(e^{j\omega}) = \displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty}h[n]e^{-j\omega n} }$
对比上述傅里叶变换，可以发现频率响应就是单位脉冲响应的DTFT，那么通过对频率响应进行IDTFT即可得到单位脉冲响应
$\displaystyle{h[n] = \int_{-\pi}^{\pi}H(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega}$
DTFT的收敛性
收敛性问题我们在傅里叶变换课程能也有讨论过，这里从序列这边展开讨论。DTFT不是对任何序列都适用的，显然它对序列有一定的要求。
首先假设有一函数$X(e^{j\omega})$，其对应的序列为$x[n]$
- 如果$\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|<\infty}$，则DTFT得到的函数会绝对收敛于$X(e^{j\omega})$，$\displaystyle{X(e^{j\omega}) = X_M(e^{j\omega})=\lim_{M\to\infty}\sum_{n=-M}^{M}x[n]e^{-j\omega n}}$
- 如果$\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2<\infty}$，则DTFT得到的函数会均方收敛于$X(e^{j\omega})$，$\displaystyle{\lim_{M\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}|X(e^{j\omega})-X_M(e^{j\omega})|^2d\omega = 0}$
- 对于不收敛的序列$x[n]$，有时也能得到其DTFT，如$u[n]$进行DTFT后可以得到$U(e^{j\omega}) = \frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\displaystyle{\sum_{r=-\infty}^{\infty}\pi\delta(\omega+2\pi r)}$
关于收敛的意义，下面的均方收敛的例子能很好地展示其收敛过程。
有一低通滤波器的频率响应如下
$H_{lp}(e^{j\omega})=\left\{\begin{matrix}
1, &|\omega|<\omega_c \\
0, & \omega_c<|\omega|\leqslant\pi
\end{matrix}\right.$
单位脉冲响应是频率响应的逆傅里叶变换
$\begin{align*}
h_{lp}[n] &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}e^{j\omega n}d\omega \\
&= \left [\frac{1}{2\pi jn}e^{j\omega n}\right ]_{-\omega_c}^{\omega_c}\\
&= \frac{1}{2\pi jn}(e^{j\omega_c n}-e^{-j\omega_c n})\\
&= \frac{sin\omega_c n}{\pi n} \quad -\infty<n<\infty
\end{align*}$
可以看到当$n\to\infty$时，这个序列仅以$\frac{1}{n}$趋于0，因此$h_{lp}[n]$不是绝对可加的，也就是说
$\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{sin\omega_c n}{\pi n}e^{-j\omega n} }$
并不绝对收敛于$H_{lp}(e^{j\omega})$。为了获得直观上的理解，先来考虑作为有限项和的
$\color{red}{H_{M}(e^{j\omega}) = \displaystyle{\sum_{n=-M}^{M}\frac{sin\omega_c n}{\pi n}e^{-j\omega n}}}$
当$M=1,3,7,19$时分别如下图所示
可以发现随着$M$增大，有限项和越来越趋近与原来的频率响应。但同时也有一个问题，在$\omega_c$点附近的波形一直都是振荡的，并且幅度没有变小，而是随着$M$的增大越发集中于$\omega_c$。也就是说对$h_{lp}[n]$进行DTFT后得到的函数不是绝对收敛于$H_{lp}(e^{j\omega})$的，但它是均方收敛的。
DTFT的对称性质
对称性质主要用于简化计算。
我们现实中所碰到的序列多是实数序列，不过在对信号进行傅里叶分析时，则不可避免地把序列$x[n]$的范围扩展到复数域。对于复数序列$x[n]$，它可以被分为实数部分$x_R[n]$与虚数部分$x_I[n]$。
共轭对称与共轭反对称
如果一个序列的实数域对称，虚数域反（原点）对称，则称该序列为共轭对称序列（conjugate-symmetric sequence），该序列用$x_e[n]$来表示，有$x_e[n] = x_e^{*}[-n]$
如果一个序列的实数域反（原点）对称，虚数域对称，则称该序列为共轭反对称序列（conjugate-antisymmetric sequence），该序列用$x_o[n]$来表示，有$x_o[n] = -x_o^{*}[n]$
任何序列$x[n]$都能表示成一个共轭对称序列和一个共轭反对称序列之和
$x[n] = x_e[n]+x_o[n]$
其中
$\left\{\begin{matrix}
x_e[n] &=&\frac{1}{2}(x[n]+x^*[-n]) &=&x_e^*[-n] \\
x_o[n] &=&\frac{1}{2}(x[n]-x^*[-n]) &=&-x_o^*[-n]
\end{matrix}\right.$
利用共轭对称的定义容易证明上述等式是成立的，利用共轭对称的图示也能很好地理解。
同理，复函数也可以有共轭对称这一特征。DTFT得到的复函数$X(e^{j\omega})$也能分解为共轭对称和共轭反对称函数之和
$X(e^{j\omega}) = X_e(e^{j\omega})+X_o(e^{j\omega})$
其中
$\left\{\begin{matrix}
X_e(e^{j\omega}) &=&\frac{1}{2}[X(e^{j\omega})+X^*(e^{j\omega})] &=&X_e^*(e^{j\omega}) \\
X_o(e^{j\omega}) &=&\frac{1}{2}[X(e^{j\omega})-X^*(e^{j\omega})] &=&-X_o^*(e^{j\omega})
\end{matrix}\right.$
DTFT的对称性质
DTFT有如下表的对称性质
| 序列x[n] | DTFT X(ejω) | ||||||||||||||
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| 以下性质仅适用于x[n]为实序列 | |||||||||||||||
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上述性质中，只要证明了性质1，同理即可证明性质2，后面的性质可以通过上述共轭对称之和的等式中容易证明。
性质1证明：
对$x^{*}[n]$进行DTFT
$\begin{align*}
\sum_{n=-\infty}^{\infty}x^*[n]e^{-j\omega n}
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_R[n](cos\omega n-jsin\omega n)-j\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_I[n](cos\omega n-jsin\omega n)\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_R[n]cos\omega n-j\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_R[n]sin\omega n-j\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_I[n]cos\omega n-\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_I[n]sin\omega n\\
&=\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_R[n]cos\omega n-\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_I[n]sin\omega n\right)-j\left( \sum_{n=-\infty}^{\infty}x_R[n]sin\omega n+\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_I[n]cos\omega n\right)\\
&=\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|cos\phi cos\omega n-\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|sin\phi sin\omega n\right )\\
&\quad-j\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|cos\phi sin\omega n+\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|sin\phi cos\omega n\right)\quad letting\ \phi=\angle x[n]\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|cos(\phi+\omega n)-j\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|sin(\phi+\omega n)\\
\end{align*}\\$
对$x[n]$进行DTFT
$\begin{align*}
\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|e^{j\angle x[n]}e^{-j\omega n} \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|e^{j(\phi-\omega n)}\quad letting\ \phi=\angle x[n]\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|cos(\phi-\omega n)+j\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|sin(\phi-\omega n)\\
\end{align*}$
对比两个结果即可发现$x^*[n]$进行DTFT后得到的是$X^*(e^{-j\omega})$
DTFT的相关定理
本书是把DTFT描述成序列的傅里叶变换，用的也是傅里叶变换的符号$\mathcal{F}$。
DTFT的相关定理与傅里叶变换相关定理相差无几，如有必要也能用同样的方法推导得出，下面只进行定理的罗列
| 序列x[n],y[n] | DTFT X(ejω),Y(ejω) | ||||||||||||||
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| 帕斯瓦尔定理: | |||||||||||||||
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其中1为线性性质，2与3为移位定理，4为对偶性质，5为微分定理，6与7为卷积定理。
下面列出的是一些常用序列的DTFT
| 序列 | DTFT | ||||||||||||||||||||||
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