[离散时间信号处理学习笔记] 1. 离散时间信号与离散时间系统
本文给出了离散时间信号与离散时间系统的基本定义，建立符号注释。
离散时间信号
离散时间信号的定义
离散时间信号在数学上表示成数的序列。如果以连续时间信号（函数）来进行对比，有：
- 一个函数$f$，该函数中的某一点$k$上的值记作$f(k)$。
- 一个数的序列$x$，该序列中的第$n$个数记作$x[n]$。正规地可写作
$x = \{x[n]\}, n \in Z$
不过实际上，序列往往可以通过周期采样一个模拟（连续时间）信号$x_{a}(t)$来得到
$x[n] = x_{a}(nT), n\in Z$
其中$T$为采样周期，其倒数$\frac{1}{T}$为采样频率。
离散时间信号的表示
$x[n]$指的序列中的第$n$个数，即序列的第$n$个样本。在表示整个序列时，如果用$x = \{x[n]\}, n\in Z$则会过于繁琐，因此我们通常用“序列$x[n]$”来进行称呼。
基本序列
在讨论离散时间信号与系统理论时，有几个基本序列是特别重要的。
单位样本序列Unit sample
定义为
$\delta[n]=\left\{\begin{matrix}
1, & n=0\\
0, & n\neq 0
\end{matrix}\right.$
单位样本序列在离散时间信号与系统中的作用就如同单位脉冲函数$\delta(t)$在连续时间信号与系统中所起的作用，目的是用于采样。为了方便起见，我们通常称之为离散时间脉冲，或者简单称为脉冲。
我们注意到只要中括号内的值为0，则该点的值为1。因此如果有一延迟的单位样本序列$\delta[n-2]$，则表明在$n=2$处的值为1，表现为单位样本信号$\delta[n]$向右移动了两个单位。如此一来，我们可以发现任何序列都可以用一组幅度加权的延迟单位样本序列的和来表示
$x[n] = \cdot\cdot\cdot + a_{-2}\delta[n+2]+a_{-1}\delta[n+1]+a_{0}\delta[0]+a_{1}\delta[n-1]+\cdot\cdot\cdot$
即任何序列均可表示为
$x[n] = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k] }$
单位跃阶序列Unit step
定义为
$u[n]=\left\{\begin{matrix}
1, & n\geqslant 0\\
0, & n < 0
\end{matrix}\right.$
观察前面的图UnitStep与Delta，可以发现单位跃阶序列在$n$时刻点的值就等于单位样本序列在$n$点以及该点以前的全部值的累加和，即（此处$u[n]$为单位跃阶序列上的第$n$点）
$u[n] = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{n}\delta[k] }$
此外，序列$u[n]$也可表示成一组延迟的单位样本序列之和
$u[n] = \delta[n]+\delta[n-1]+\delta[n-2]+\cdot\cdot\cdot=\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\delta[n-k]}$
指数序列 Exponential
指数序列的一般形式为
$x[n] = A\alpha ^n$
如果$A,\alpha$都为实数的话，则$x[n]$为实指数序列。我们主要讨论本门课程会重点讨论范围更广泛的复指数序列，即$A,\alpha$都为复数。复数$A,\alpha$可以分别写成
$\left\{\begin{matrix}
A& = & |A|(cos\phi+jsin\phi)&=&|A|e^{j\phi} \\
\alpha & = & |\alpha|(cos\omega_0+jsin\omega_0) &=&|\alpha|e^{j\omega_0}
\end{matrix}\right.$
则复指数序列就可以表示为
$\begin{align*}
x[n] &= A\alpha^n\\
&= |A|e^{j\phi}|\alpha|^ne^{j\omega_0n}\\
&= |A||\alpha|^ne^{j(\omega_0n+\phi)}\\
&= |A||\alpha|^ncos(\omega_0n+\phi)+j|A||\alpha|^nsin(\omega_0n+\phi)
\end{align*}$
当$\alpha=1$时，该序列有如下形式：
$x[n] = |A|e^{j(\omega_0n+\phi)} = |A|cos(\omega_0n+\phi)+j|A|sin(\omega_0n+\phi)$
也就是说，$e^{j\omega_0n}$的实部与虚部都随$n$做正弦变化。按照与连续时间情况相类比的方式，量$\omega_0$也称作复正弦或者复指数的频率，$\phi$称作相位。
离散时间正弦序列与连续时间正弦信号的区别
频率
由于离散时间正弦序列的$n$必为整数，这使得其与连续时间正弦信号有重大的区别。例如，假设有频率$(\omega_0+2\pi)$。
如果是连续时间正弦信号，这时有
$f(t) = Acos((\omega_0+2\pi)t + \phi)$
如果是离散时间正弦序列，这时有
$x[n] = Acos[\omega_0n+2\pi n + \phi] = Acos[\omega_0 n + \phi]$
从该例子中看出频率为$(\omega_0+2\pi r)$的离散时间正弦序列（其中$r$为任意整数）相互间是无法区分的，即频率仍然为$\omega_0$。
周期
对于连续时间正弦信号
$f(t) = Acos(\omega_0t+\phi)$
该信号的周期$T = \frac{2\pi}{\omega_0}$。
对于离散时间正弦序列
$x[n] = Acos[\omega_0n+\phi]$
在离散时间的情况下，一个周期序列应满足
$x[n] = x[n+N]$
式中的周期$N$必须是整数。如果用这个条件来检验离散时间正弦序列的周期性，则有
$Acos(\omega_0n+\phi) = Acos(\omega_0n+\omega_0N+\phi)$
这要求
$\omega_0N = 2\pi k$
式中$k$为整数。可见周期$N$的值不一定等于$\frac{2\pi}{\omega_0}$，这是因为$N$必须是整数。
这两个区别对复指数序列$Ce^{j\omega_0n}$同样适用。
离散时间系统
在数学上，一个离散时间系统可以定义为一种变换或者算子，它把值为$x[n]$的输入序列映射成值为$y[n]$的输出序列，可以记作
$y[n] = T\{x[n]\}$
用图表示为
应该强调的是，输出序列中的第$n$点的值$y[n]$可以是序列$x[n]$的全部点的值的函数，即$n$时刻$y$点的值可能与整个序列$x$的全部或者部分内容有关。
无记忆系统
如果在每一个$n$值上的输出$y[n]$只决定于同一个$n$值的输入$x[n]$，那么就说该系统是无记忆的。
例如
$y[n] = (x[n])^2, \ \ for\ each\ n$
线性系统
线性系统由叠加性来定义。对于一个系统$T$，如果$y_1[n]$和$y_2[n]$分别是输入为$x_1[n]$和$x_2[n]$时某一系统的响应，那么当且仅当下式成立时，该系统是线性的
$\begin{align*}
&T\{x_1[n]+x_2[n]\} &=& T\{x_1[n]\}+T\{x_2[n]\} &=& y_1[n]+y_2[n]\\
&T\{ax[n]\}&=&aT\{x[n]\}&=&ay[n]
\end{align*}$
式中$a$为任意常数。上述第一个性质称为可加性，第二个性质称为齐次性或比例性。这两个性质结合在一起就称为叠加原理，写成
$T\{ax_1[n]+bx_2[n]\} = aT\{x_1[n]\}+bT\{x_2[n]\}$
对于任意常数$a,b$都成立。推广到多个输入的叠加如下，
$x[n] = \displaystyle{\sum_ka_kx_k[n]}$
那么一个线性系统的输出就一定是
$y[n] = \displaystyle{\sum_ka_ky_k[n]}$
时不变系统
时不变（time-invariant）系统指的是：输入序列的移位或延迟将引起输出序列相应的位移或延迟。具体地说，假设一个系统将值为$x[n]$的输入序列变换成$y[n]$的输出序列，如果这个系统是时不变的，则对所有的$n_0$，值为$x_1[n] = x[n-n_0]$的输入序列将产生值为$y_1[n] = y[n-n_0]$的输出序列。
和线性性质的情况相同，要证明一个系统是时不变的，就得做一般性的证明，而不能在输入信号方面做任何特别的假设。令一方面，要证明不是时不变性则只需要找到一个时变性的反例。
因果性
如果对每一个选取的$n_0$，输出序列在$n=n_0$的值仅仅取决于输入序列在$n\leqslant n_0$的值，则该系统就是因果的。该系统不可以用超前的输入序列部分来得到当前的输出。
稳定性
当且仅当每一个有界的输入序列都产生一个有界的输出序列时，则称该系统在有界输入有界输出（BIBO）意义下是稳定的。
如果存在某个固定的有限正数$B_x$，使得下式成立：
$|x[n]|\leqslant B_x < \infty,\ for\ each\ n$
则输入$x[n]$就是有界的。稳定性要求对于每一个有界的输入，都存在一个固定的有限正数$B_y$，使得下式成立：
$|y[n]|\leqslant B_y < \infty, \ for\ each\ n$
同样，稳定性也是系统的性质，即要求对所有有界的输入，其输出都是有界的。
