[傅里叶变换及其应用学习笔记] 二十六. 高维傅里叶变换的推导

高维意味着函数中有多个变量，典型的高维傅里叶应用为图像处理。

一个二维图像的亮度（灰度）可以用$f(x_1,x_2)$来表示，以lena为例，图像平面作为$x_1,x_2$平面，灰度作为$z$轴，形成一个三维曲面

                    

     original image                       front of curve surface                 side of curve surface

 

一维傅里叶变换的作用是把二维平面上的曲线转换成频域表示，二维的傅里叶变换的作用就是把三维曲面转换成频域表示。

mathematica script:

data = Import["ExampleData/lena.tif"];
imageData = ImageData[data, "Byte"];
width = ImageDimensions[data][[1]];
height = ImageDimensions[data][[2]];
scaleParam = 5;
scaledWidth = IntegerPart[width/scaleParam];
scaleHeight = IntegerPart[height/scaleParam];
size = width*height;
scaledSize = scaledWidth*scaleHeight;
red = 1;
green = 2;
blue = 3;
image3d = 
  Table[If[j == 3, 
    imageData[[If[IntegerPart[i/width] > 0, IntegerPart[i/width], 1], 
     If[Mod[i, width] > 0, Mod[i, width], 1], green]], 
    If[j == 1, If[IntegerPart[i/width] > 0, IntegerPart[i/width], 1], 
     If[Mod[i, width] > 0, Mod[i, width], 1]]], {i, size}, {j, 3}];
ListPlot3D[image3d, Mesh -> None, InterpolationOrder -> 3, 
 ColorFunction -> GrayLevel]

 

 

 

从一维傅里叶变换到二维傅里叶变换

一维傅里叶变换的公式如下

$\displaystyle{ \mathcal{F}f(s) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(t)dt }$

其中有变量$s,t$，变换中与这些变量相关的部分有$f(t),\mathcal{F}f(s)$以及$e^{-2\pi ist}$

 

二维傅里叶变换里面，变量$s,t$都变成了如下二维变量

空间变量（spatial variable）

$\underline{x} = (x_1,x_2)$

频率变量

$\underline{\xi} = (\xi_1,\xi_2)$

注：我们在讨论一维傅里叶变换的时候采用的是以时间作为单位的时域，但是在二维（N维）傅里叶变换的时候采用的是空间为单位的空域。

 

那么二维空域函数就可以写成

$f(\underline{x}) = f(x_1,x_2)$

二维频域函数就写成

$\mathcal{F}f(\underline{\xi} = \mathcal{F}f(\xi_1,\xi_2))$

复指数中的乘积$st$就变成$\underline{x}$与$\underline{\xi}$的内积（把$\underline{x},\underline{\xi}$看作向量）

$\underline{x}\cdot \underline{\xi} = x_1\xi_1+x_2\xi_2$

那么复指数$e^{-2\pi ist}$变成

$e^{-2\pi i(\underline{x}\cdot \underline{\xi})} = e^{-2\pi i(x_1\xi_1+x_2\xi_2)}$

 

 

有了以上的变量替换，二维傅里叶变换有如下形式

向量形式

$\displaystyle{ \mathcal{F}f(\underline{\xi}) = \int_{\mathbb{R}^2}e^{-2\pi i(\underline{x}\cdot \underline{\xi})}f(\underline{x})d\underline{x} }$

分量形式

$\displaystyle{ \mathcal{F}f(\xi_1,\xi_2) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i(x_1\xi_1+x_2\xi_2)}f(x_1,x_2)dx_1dx_2 }$

 

 

N维傅里叶变换

$\begin{matrix}
\underline{x} &= &(x_1,x_2,…,x_n)\\
\underline{\xi} &= &(\xi_1,\xi_2,…,\xi_n)\\
\underline{x}\cdot \underline{\xi} &= &x_1\xi_1+x_2\xi_2+…+x_n\xi_n
\end{matrix}$

向量形式

$\displaystyle{ \mathcal{F}f(\underline{\xi}) = \int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i(\underline{x}\cdot \underline{\xi})}f(\underline{x})d\underline{x} }$

分量形式

$\displaystyle{ \mathcal{F}f(\xi_1,\xi_2,…,\xi_n) = \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}…\int_{-\infty}^{\infty}}_{n}e^{-2\pi i(x_1\xi_1+x_2\xi_2+...+x_n\xi_n)}f(x_1,x_2,...,x_n)dx_1dx_2…dx_n }$

 

傅里叶逆变换

$\displaystyle{ \mathcal{F}^{-1}g(\underline{x}) = \int_{\mathbb{R}^n}e^{2\pi i(\underline{x}\cdot \underline{\xi})}g(\underline{\xi})d\underline{\xi} }$

 

 

 

深入理解

在前面一维傅里叶变换类比到二维傅里叶变换的时候，复指数有以下过渡

$e^{2\pi ist} \quad \rightarrow \quad e^{2\pi i(\underline{x}\cdot\underline{\xi})}$

其中的$st$为什么会变成了$\underline{x}\cdot\underline{\xi}$这种内积的形式呢？

下面将从一维复指数开始分析，后会过渡到二维复指数。

 

一维复指数

在一维傅里叶级数的分析时，我们讲到任何周期为1的函数都能表达成复指数的形式如下

$f(t) = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}C_ke^{2\pi ikt} }$

其中分解成无限个复指数分量，傅里叶正逆变换是把周期取极限后再做调整的结果。

现在我们试着在坐标轴上描绘出某个复指数。

取$k=1$，即有$h(t) = e^{2\pi it}$，其中变量为t。不过由于它为复指数，我们无法在实坐标轴上把完整的图像画出来，但是我们注意到，该函数有如下性质

$h(t+1) = e^{2\pi i(t+1)} = e^{2\pi it}e^{2\pi i}=e^{2\pi it} = h(t)$

$e^{2\pi it} = 1 \qquad for\ t=0,\pm 1,\pm 2,…$

可以画出下图

可以看到尽管我们不能完整画出该复指数的图像，但是可以看到它每间隔1都会回到原来的位置，是一个周期为1的振荡函数（曲线）。

 

如此类推

• $e^{2\pi ikt}$就是周期为$\frac{1}{k}$（频率为$k$）的振荡函数，任意只含有一个变量t的函数$f(t)$都能由无数个这种不同频率的振荡函数组合得到。

 

二维复指数

按照上面分析一维复指数的思路，我们来分析二维复指数$e^{2\pi i(\underline{x}\cdot\underline{\xi})}$

取固定的$\underline{\xi} = (1,1)$，即

$\underline{x}\cdot\underline{\xi} = x_1+x_2$

当$\underline{x}\cdot\underline{\xi} = 0,\pm1,\pm2…$时，有

$e^{2\pi i(\underline{x}\cdot\underline{\xi})} = 1$

此时该复指数的值为1，在图像上表示就是振荡到1的位置

 

图上的斜线分别为

$x_1+x_2 = 0,\pm1,\pm2…$

他们有着相同的法向量$(1,1)$，即

$\underline{\xi} = (\xi_1,\xi_2)$

他们之间的距离为

$distance=\frac{\frac{1}{\xi_1}\frac{1}{\xi_2}}{\sqrt{\frac{1}{\xi_1^2}+\frac{1}{\xi_2^2}}} = \frac{\frac{1}{\xi_1\xi_2}}{\sqrt{\frac{\xi_1^2+\xi_2^2}{\xi_1^2\xi_2^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\xi_1^2+\xi_2^2}} = \frac{1}{\left \| \xi \right \|}$

 

因此，结合前面坐标图像，有这样的描述：

• $e^{2\pi i(\underline{x}\cdot\underline{\xi})}$是一个法向量为$\underline{\xi} = (\xi_1,\xi_2)$周期为$\frac{1}{\left \| \xi \right \|} = \frac{1}{\sqrt{\xi_1^2+\xi_2^2}}$的振荡函数（曲面）。

通过修改$\underline{\xi}$，可以得到不同的法向量与不同周期的二维复指数$e^{2\pi i(\underline{x}\cdot\underline{\xi})}$，无限的这类复指数可以组合成包含两个变量的任意函数$f(\underline{x}) = f(x_1,x_2)$，即三维曲面。