[傅里叶变换及其应用学习笔记] 十八. 采样定理
采样定理
上节课我们推导了采样定理的公式，该公式可以说是本课程最重要的公式。
设有带宽为$p$的函数$f(t)$，在频域对这个函数用$Ш_p$进行周期化后，再用$\Pi_p$对它进行裁剪，得到的还是原来的函数
$\mathcal{F}f = \Pi_p(\mathcal{F}f*Ш_p)$
最终推导得到
$f(t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p})sinc \left(p(t-\frac{k}{p})\right) }$
在上式中，$p$可被称为抽样速率，即每秒的抽样数目。同时$p$也被称为奈奎斯特速率（Nyquist rate）。
抽样速率比$p$高
设实际的抽样速率为$p'$，$p'>p$，这时仍可以使用上述公式。
这表明实际的抽样间隔为$\frac{1}{p'}$，$\frac{1}{p'}<\frac{1}{p}$，此时需要更多的抽样点，而所有的推导结果还是正确的。
相悖的时间与频率
采样定理的公式，依赖于函数上无限个采样值$f(\frac{k}{p}) $，根据这些采样值我们能从公式得到原函数$f(t)$。而在实际应用中，我们只能得到有限项的采样值，这会导致计算产生误差。
一个信号不可能同时在时间与频率都受限。
这句话的意思是
$\left.\begin{matrix}
&if & \mathcal{F}f(s) \equiv 0 &for &|s|\geqslant\frac{p}{2} \\
&then & f(t)\not\equiv 0 &for &t\ sufficiently\ large
\end{matrix}\right.$
即，如果一个信号在频率上是受限的，它在时间上的有限远处必然还存在不为$0$的值。同理，如果一个信号在时间上是受限的，它在频率的有限远处也必然还存在不为$0$的值。
$\left.\begin{matrix}
&if &f(t) \equiv 0 &for &t\geqslant\frac{p}{2} \\
&then & \mathcal{F}f(s)\not\equiv 0 &for &s\ sufficiently\ large
\end{matrix}\right.$
由于时间与频率有着这样的关系，因此，对于有限带宽的函数，是不能从有限项抽样就能得出原函数的整体样貌的。
关于为何有限带宽函数在时间上的有限远处必然还存在不为$0$的值，由如下推导证明
$\mathcal{F}f = \Pi_p(\mathcal{F}f)$
一个有限带宽函数被$\Pi_p$截断仍然是原本的函数，即
$\begin{align*}
f(t)
&=\mathcal{F}^{-1}(\Pi_p(\mathcal{F}f))\\
&=(\mathcal{F}^{-1}\Pi_p)*(\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}f) \qquad (Fourier\ Convolution\ Theorem)\\
&=psinc(pt)*f(t)
\end{align*}$
因此，对于有限带宽为$p$的函数$f(t)$，有
$f(t) = psinc(pt)*f(t)$
对于等式的右边，$sinc$函数是无限延伸的，它在有限远处必然有不为$0$的值，因此$f(t)$与它的卷积也会在有限远处有不为$0$的值。
在实际情况中，信号的时间与频率都是受限的，因为我们不可能无穷地测量，这就是实际情况与数学理论的冲突。
抽样速率比$p$低（混叠）
当抽样速率为$p'$，$p'<p$时，周期化的频谱会出现重叠
重叠会导致叠加，从而重叠部分的频率曲线上升
用$\Pi_{p'}$截断后，得到的并不是原始函数的傅里叶变换。
它的逆傅里叶变换为
$\mathcal{F}^{-1}(\Pi_{p'}(\mathcal{F}f*Ш_p))=\displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p'})sinc(p'(t-\frac{k}{p'})) }$
但是这并不是$f(t)$，因为$\mathcal{F}f \neq \Pi_{p'}(\mathcal{F}f*Ш_{p'})$。我们把这结果称为$g(t)$
$g(t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p'})sinc(p'(t-\frac{k}{p'})) }$
$f(t)$与$g(t)$在抽样点$\frac{m}{p'}$（$m$为任意整数）上是相等的。
$\begin{align*}
g(\frac{m}{p'})
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p'})sinc\left(p'(\frac{m}{p'}-\frac{k}{p'})\right)\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p'})sinc(m-k)\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p'})\frac{sin(\pi(m-k))}{\pi(m-k)} \qquad(sinc = \frac{sin(\pi x)}{x})\\
&=f(\frac{m}{p'}) \qquad
\left( sinc(m-k) = \begin{cases}
1 & \text{,} m=k \\
0 & \text{,} m\neq k
\end{cases}\right )
\end{align*}$
我们可以说$f(t)$与$g(t)$是混叠的（alias），这意思是$f(t)$与$g(t)$不相等，但是它们在采样点$\frac{m}{p'}$上的采样值是相等的。
混叠的例子
有频率为$\frac{9}{4}$的函数
$f(t) = cos\left( \frac{9\pi}{2}t\right)$
它的傅里叶变换为
$\mathcal{F}f(s) = \frac{1}{2}\left( \delta(s+\frac{9}{4}) + \delta(s-\frac{9}{4}) \right)$
因此带宽为$p=\frac{9}{2}$。
令抽样频率为$1$，意味着$p' = \frac{1}{1} = 1$，即有
$\begin{align*}
g(t)
&= \mathcal{F}^{-1}(\Pi_{p'}(\mathcal{F}f*Ш_{p'}))\\
&= \mathcal{F}^{-1}(\Pi(\mathcal{F}f*Ш)\\
&= \mathcal{F}^{-1}\left(\Pi\left(\frac{1}{2}\left(\delta(s+\frac{9}{4})+\delta(s-\frac{9}{4}) \right )*\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(s-k)\right)\right)\\
&= \mathcal{F}^{-1}\left(\Pi\left(\frac{1}{2}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\delta(s+\frac{9}{4}-k)+\delta(s-\frac{9}{4}-k) \right ) \right ) \right ) \qquad(\delta\ shift\ property)\\
&= \mathcal{F}^{-1}\left(\frac{1}{2}\left(\delta(s+\frac{1}{4})+\delta(s-\frac{1}{4}) \right ) \right ) \qquad (only\ \delta_{\frac{1}{4}}\ and\ \delta_{-\frac{1}{4}}\ in\ the\ scope\ of\ \Pi)\\
&= cos\left(\frac{\pi}{2}t \right )
\end{align*}$
推导得到的$g(t)$并不等于$f(t)$，而在采样点$\frac{m}{p'} = \frac{m}{1} = m$（m为任意整数），即$0,\pm 1,\pm 2 …$处的采样点是一样的。
