[傅里叶变换及其应用学习笔记] 十六. 继续上次内容，晶体成像
x射线晶体照像术
1) x射线是1895年由伦琴（Roentgen）发现的，其波长为$10^{-8}$厘米左右，常用的测量可见光波长的方法会由于其波长太小而无法测量。
2) 晶体（Crystals），晶体的原子结构符合一定规律——原子有序地排列成晶格。劳厄（Laue）在1912年做了一系列著名实验，其目的是利用x射线进行衍射实验来研究晶体的本质。
劳尔假设：
1) x射线是波，因此可以进行衍射
2) 晶体可以充当合适的衍射光栅，即晶体具有晶格原子（lattice atomic）——周期性的原子结构，原子间距可以和x射线的波长相比拟
在一维情况下，一维的晶体是由原子等间距排列形成的一条直线。
该直线无限延长，直线上有无数个原子，实验需要研究的是晶体的电子密度分布——可理解为该晶体的x射线透过率。整个晶体的电子密度就是单个原子电子密度的周期排列形式。单个原子的密度记为$\rho$，将其周期化
整个一维晶体的原子密度为：
$\begin{align*}
\rho_p(x)
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\rho(x-kp)\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \rho(x)*\delta(x-kp) \qquad (shift \ property \ of \ \delta)\\
&=\rho(x)*\sum_{-\infty}^{\infty}\delta(x-kp)
\end{align*}$
根据我们上节课的结论，衍射条纹应该是有该式子的傅里叶变换$\mathcal{F}\rho_p$所决定的
新符号$Ш$（shah）
我们引入新符号$Ш$，令
$Ш_p(x) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(x-kp) }$
由于符号$Ш$与等间距的脉冲符号相似，因此引入这个符号，$Ш_p(x)$代表了无穷多个$\delta$，各个$\delta$的间距为$p$
因此
$\rho_p(x)=\rho(x)*Ш_p(x)$
$\mathcal{F}\rho_p=\mathcal{F}(\rho(x)*Ш_p(x)) = (\mathcal{F}\rho)(\mathcal{F}Ш_p)$
式子中，$\rho$是由晶体性质确定的，我们需要研究的对象是$Ш_p$。那么，$Ш_p$是否有意义呢？
我们知道$\delta$作为分布式有意义的，$<\delta,\varphi>$代表了从$0$点处取测试函数的值$\varphi(0)$，那么$<Ш_p,\varphi>$则代表在各个时移$\delta$处取值。
当$p=1$时
$<Ш,\varphi> = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\varphi(k)}$
由于$\varphi$为速降函数，因此$\displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\varphi(k)}$是收敛的，即$<Ш,\varphi>$有意义，那么$<\mathcal{F}Ш,\varphi>$也是有意义的。
$<\mathcal{F}Ш,\varphi> = <Ш,\mathcal{F}\varphi> = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}\varphi(k)}$
按照以往的求解方法我们可以写成
$\mathcal{F}Ш = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty} \mathcal{F}\delta_k = \sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ikx} }$
但是这种形式，还不是我们最终要求的值，我们需要引入其他方法求解。
泊松求和公式（The Poisson Sum Formula）
注：由于课程内的泊松求和公式的推导有些不明了的地方，因此我们这里采用的是wiki上的推导方式
$Ш$是周期为$1$的脉冲函数，即有
$Ш(t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-k)}$
把$Ш$分解为傅里叶级数的形式
$\begin{align*}
Ш(t)
& = \sum_{k=-\infty}^{\infty}C_ke^{2\pi ikt}\\
& = \sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\int_0^1Ш(t)e^{-2\pi ikt}dt \right )e^{2\pi ikt}\\
& = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left( \int_{0}^1 \delta(t)e^{-2\pi ikt}dt \right )e^{2\pi ikt}\\
& = \sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i0t}e^{2\pi ikt}\\
& = \sum_{k=-\infty}^{\infty}1\cdot e^{2\pi ikt}\\
& = \sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikt}
\end{align*}$
因此
$\displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikt} = \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-k)}$
根据这个条件，我们进行以下推导
$\begin{align*}
\sum_{k=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}f(k)
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi ikx}dx \right )\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ikx} \right )dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikx} \right )dx \\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(x-k) \right )dx\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-k)dx \right )\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k)
\end{align*}$
即
$\displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}f(k) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k) }$
这个等式就是泊松求和公式
$Ш$的傅里叶变换
根据泊松求和公式，$\mathcal{F}Ш$求解过程如下
$\begin{align*}
<\mathcal{F}Ш,\varphi>
&=<Ш,\mathcal{F}\varphi>\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}\varphi(k)\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\varphi(k) \qquad (The\ Poisson\ Sum\ Formula)\\
&=<Ш,\varphi>
\end{align*}$
因此，
$\mathcal{F}Ш = Ш$
$Ш_p$的傅里叶变换
首先把$Ш_p$转换成$Ш$的形式
$\begin{align*}
Ш_p
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(x-kp)\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(p(\frac{x}{p}-k)\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{p}\delta(\frac{x}{p}-k) \qquad(\delta\ scaling\ property)\\
&=\frac{1}{p}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\frac{x}{p}-k)\\
&=\frac{1}{p}Ш(\frac{x}{p})
\end{align*}$
对$Ш_p$进行傅里叶变换
$\begin{align*}
\mathcal{F}Ш_p
&=\frac{1}{p}\mathcal{F}(Ш(\frac{x}{p}))\\
&=\frac{1}{p}\cdot p(\mathcal{F}Ш)(px) \qquad (Fourier\ Scaling\ Theorem)\\
&=Ш(px)\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(px-k)\\
&=\frac{1}{p}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(x-\frac{k}{p})\\
&=\frac{1}{p}Ш_{\frac{1}{p}}
\end{align*}$
因此
$\mathcal{F}Ш_p = \frac{1}{p}Ш_{\frac{1}{p}}$
晶体成像
我们前面已经知道一维晶体的原子密度为
$\rho_p(x) = \displaystyle{\rho(x)*\sum_{-\infty}^{\infty}\delta(x-kp) = \rho(x)* Ш_p}$
晶体的成像依赖于它的原子密度的傅里叶变换
$\begin{align*}
\mathcal{F}\rho_p
&=\mathcal{F}(\rho*Ш_p)\\
&=\mathcal{F}(\rho)\mathcal{F}(Ш_p)\\
&=\mathcal{F}(\rho)(\frac{1}{p}Ш_{\frac{1}{p}})\\
&=\mathcal{F}\rho(x)\left(\frac{1}{p}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(x-\frac{k}{p}) \right )\\
&=\frac{1}{p}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}\rho(x)\delta(x-\frac{k}{p})\\
&=\frac{1}{p}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}\rho(\frac{k}{p})\delta(x-\frac{k}{p}) \qquad (\delta\ sampling\ property)
\end{align*}$
我们能看到的成像为$\mathcal{F}\rho$在间距为$\frac{1}{p}$上的各个点的采样
晶体的原子间距为$p$，而它的成像后的间距为$\frac{1}{p}$，因此晶体的衍射成像间距和晶体的原子间距呈倒数关系。
