[傅里叶变换及其应用学习笔记] 十三. 分布的傅里叶变换
这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。
分布傅里叶变换的定义
在傅里叶变换领域中，测试函数$\varphi$选择了速降函数（Schwartz Functions）。与之对应的分布$T$通常被称为缓增分布（Tempered Distributions）。
$<T,\varphi>$
上式表示了，给定测试函数$\varphi$，分布$T$对测试函数$\varphi$进行作用，得到的结果为一个数值，该过程也被称为匹配（Pair）。这种作用是通过积分来实现的。
$<T,\varphi> = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}T(x)\varphi(x)dx}$
由于速降函数足够优秀，因此其对应的分布——缓增分布（又称缓增广义函数）——能包含绝大多数一般函数甚至奇特的函数。而且，非常重要的一点，我们在十一课的时候已经证明过：速降函数进行正傅里叶变换或逆傅里叶变换后，仍是速降函数。
$\mathcal{F}\varphi(s)\in S \quad as \quad \varphi(x)\in S$
$\mathcal{F}^{-1}\varphi(x) \in S \quad as \quad \varphi(s)\in S$
缓增分布的傅里叶变换
首先，假设缓增分布$T$可以进行傅里叶变换，变换后为分布$\mathcal{F}T$，$\mathcal{F}T(x)$对速降函数$\varphi(x)$进行作用
$\begin{align*}
<\mathcal{F}T,\varphi>
&=\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}T(x)\varphi(x)dx \\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ixy}T(y)dy \right )\varphi(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ixy}\varphi(x)dx \right )T(y)dy\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}\varphi(y)T(y)dy\\
&=<T,\mathcal{F}\varphi>
\end{align*}$
由于$\varphi\in S \quad \Rightarrow \quad \mathcal{F}\varphi \in S$，因此$<T,\mathcal{F}\varphi>$是有意义的。根据这个结果，可以有以下定义：
- 定义缓增分布$T$的傅里叶变换为$\mathcal{F}T$，$\mathcal{F}T$作用于速降函数$\varphi$就相当于$T$作用于速降函数的傅里叶变换$\mathcal{F}\varphi$
$<\mathcal{F}T,\varphi> = <T,\mathcal{F}\varphi>$
同理可得，分布的傅里叶逆变换如下
$<\mathcal{F}^{-1}T,\varphi> = <T,\mathcal{F}^{-1}\varphi>$
分布傅里叶变换的例子
下面请看是如何运用上面得到的定义来求分布的傅里叶变换的
$\mathcal{F}\delta$
$\begin{align*}
<\mathcal{F}\delta,\varphi>
&=<\delta,\mathcal{F}\varphi>\\
&=\mathcal{F}\varphi(0)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i0x}\varphi(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}1\cdot\varphi(x)dx\\
&=<1,\varphi>
\end{align*}$
因此
$\mathcal{F}\delta = 1$
在$\delta$的定义中，我们知道$\delta$无限集中于$0$点，我们通过$\Pi$函数的极限形式来逼近它。而它的傅里叶变换为$1$，这是均匀散开的。还记得我们曾经在讨论傅里叶缩放的时候讲过——时域的集中会导致频域的分散，这就是一个极端的例子。
$\mathcal{F}\delta_a$
$\begin{align*}
<\mathcal{F}\delta_a,\varphi>
&=<\delta_a,\mathcal{F}\varphi>\\
&=\mathcal{F}\varphi(a)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi iax}\varphi(x)dx\\
&=<e^{-2\pi iax},\varphi>
\end{align*}$
因此
$\mathcal{F}\delta_a = e^{-2\pi iax}$
$\mathcal{F}e^{2\pi iax}$
$\begin{align*}
<\mathcal{F}e^{2\pi iax},\varphi>
&=<e^{2\pi iax},\mathcal{F}\varphi>\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi iax}\mathcal{F}\varphi(x)dx\\
&=\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}\varphi(a)\\
&=\varphi(a)\\
&=<\delta_a,\varphi>
\end{align*}$
因此
$\mathcal{F}e^{2\pi iax} = \delta_a$
当$a=0$时，$e^{2\pi iax} = 1$，则$\mathcal{F}1=\delta$。$f(x) = 1$的傅里叶变换为$\delta$，这是一个时域分散导致频域集中的极端例子。
$\mathcal{F}cos(2\pi ax)$
$\begin{align*}
\mathcal{F}cos(2\pi ax)
&= \mathcal{F}\left( \frac{1}{2}(e^{2\pi iax}+e^{-2\pi iax})\right ) \qquad(Eular \ Equation)\\
&=\frac{1}{2}\left(\mathcal{F}e^{2\pi iax} +\mathcal{F}e^{-2\pi iax}\right)\\
&=\frac{1}{2}(\delta_a+\delta_{-a})
\end{align*}$
$\mathcal{F}sin(2\pi ax)$
$\begin{align*}
\mathcal{F}sin(2\pi ax)
&= \mathcal{F}\left( \frac{1}{2i}(e^{2\pi iax}-e^{-2\pi iax})\right ) \qquad (Eular \ Equation)\\
&=\frac{1}{2i}\left(\mathcal{F}e^{2\pi iax} -\mathcal{F}e^{-2\pi iax}\right)\\
&=\frac{1}{2i}(\delta_a-\delta_{-a})
\end{align*}$
由这些例子可见，在我们把$\delta$，常数，$cos$，$sin$引入到缓增分布后，能简单地得出他们的傅里叶变换，而这些都是我们在传统傅里叶变换时无法做到的。
