[傅里叶变换及其应用学习笔记] 十二. 速降函数、分布
这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。
速降函数
速降函数$\varphi (x)$有如下定义
1) $\varphi(x)$无限可微
2) 对于任意$m,n$有
$|x|^n\left| \frac{\partial ^m}{\partial x^m}\varphi(x) \right| \to 0 \quad as \quad x\to \pm\infty$
为什么速降函数是傅里叶变换的最佳函数呢？
1) 如果$\varphi(x)\in S$，那么有$\mathcal{F}\varphi(s) \in S$
2) $\varphi \in S \quad \Rightarrow \quad \mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}\varphi=\varphi \ ,\ \mathcal{F}\mathcal{F}^{-1}\varphi = \varphi $
$\Pi \notin S$，因为不连续。
$\Lambda \notin S$，因为不可微。
常数，$cos$，$sin$，$\notin S$，因为不速降。
那么我们是否还有其他的函数不属于$S$?为了继续了解这个问题，我们引入了新的概念。
分布（distribution）
这里的分布不同于概率上的分布，它是广义上的函数（generalized function）的名称。
脉冲函数$\delta$
$\delta$（脉冲函数）是一个典型的分布。
$\delta$代表了集中于一点的函数（$\delta$ is supposed to represent a function which is concerntrated at a point）,我们利用$\Pi$函数的宽度不断缩小来逼近$\delta$。
$\delta = \displaystyle{\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\varepsilon}\Pi_{\varepsilon}(x) }$
对$\delta$进行积分会得到1。
$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\varepsilon}\Pi_{\varepsilon}(x)dx= \frac{1}{\varepsilon}\int_{-\frac{\varepsilon}{2}}^{\frac{\varepsilon}{2}}1dx = 1 \qquad, \varepsilon \to 0$
$\delta$与某个函数$\varphi(x)$相乘后再积分，会有如下结果
$\begin{align*}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\varepsilon}\Pi_{\varepsilon}(x)\varphi(x)dx
&= \frac{1}{\varepsilon}\int_{-\frac{\varepsilon}{2}}^{\frac{\varepsilon}{2}}\varphi(x)dx \\
&= \frac{1}{\varepsilon}\int_{-\frac{\varepsilon}{2}}^{\frac{\varepsilon}{2}}\left(\varphi(0)+\varphi'(0)x+\frac{1}{2}\varphi''(0)x^2+... \right )dx \qquad (Taylor \ series)\\
&= \varphi(0)+0(\varepsilon) \qquad (as\ \varepsilon\to 0, terms \ after \ \varphi(0) \ turn \ to \ 0 )\\
&= \varphi(0)
\end{align*}$
即，
$\displaystyle{\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\varepsilon}\Pi_{\varepsilon}(x)\varphi(x)dx = \varphi(0) }$
如果是单单观察$\delta$函数，是毫无意义的，但是如果$\delta$乘上某个函数再积分，就能得到$f(x)$在$0$点的值，这也是$\delta$函数在实际应用中的通常用法。
分布的意义
1) 测试函数$\varphi$，即对于当前研究问题的最有函数。对于傅里叶领域，测试函数是速降函数（Schwartz 函数）。
2) 跟这些测试函数相关的，我们称之为广义函数或者分布。一个分布$T$是一个作用于测试函数的线性算子，它作用于测试函数后会产生一个数值，即$T(\varphi)$会得到一个数。$T$是$\varphi$的线性泛函，即有
$T(\varphi_1+\varphi_2) = T(\varphi_1)+T(\varphi_2) \quad , \quad T(a\varphi) = aT(\varphi)$
3) 如果$\varphi_n$是一个函数序列，它收敛于$\varphi$，那么如果用$T$作用于$\varphi_n$，他将收敛于$T$作用于$\varphi$。
$\varphi_n\to \varphi \quad \Rightarrow \quad T(\varphi_n)\to T(\varphi)$
functions function numbers number
分布作用于$\varphi$，我们通常称之为匹配，记为$<T,\varphi>$。（也可以记为$T(\varphi)$，但$<T,\varphi>$更普遍）。
从分布的角度去看待$\delta$
$\delta$的作用是用来计算函数在原点处的值，这就是$\delta$的定义。给定一个测试函数$\varphi$，就可以知道$\delta$是如何作用于$\varphi$的
$<\delta,\varphi> = \varphi(0)$
线性：
$<\delta,\varphi_1+\varphi_2> = (\varphi_1+\varphi_2)(0) = \varphi_1(0)+\varphi_2(0) = <\delta,\varphi_1>+<\delta,\varphi_2>$
收敛性：
$<\delta,\varphi_n> = \varphi_n(0)$
$<\delta,\varphi> = \varphi(0)$
函数序列$\varphi_n$收敛于函数$\varphi$，那它们在零点处的值$\varphi_n(0)$肯定也收敛于$\varphi(0)$。
$\varphi_n\to \varphi \quad \Rightarrow \quad \varphi_n(0)\to \varphi(0) \quad \Rightarrow \quad <\delta, \varphi_n>\to <\delta,\varphi>$
$\delta$的移位
$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-y)f(y)dy = f(x) }$
该式子表明了$\delta$从位置$x$处获得函数$f$的值$f(x)$。我们前面讨论的是$x=0$的情况，在这里，我们定义了一个新的分布$\delta_a$
$<\delta_a,\varphi> = \varphi(a)$
匹配运算
我们在讨论速降函数的时候排除了$\Pi,\Lambda,sin,cos$常数等函数。现在，我们希望把这些函数拉入分布的行列。
比如说，我们怎样把常数函数$f(x) = 1$看作一个分布？
我们首先需要知道它是如何作用于测试函数的，即怎么匹配$1$与$\varphi$。
匹配需要产生一个数值，它是通过积分来实现的。
$<1,\varphi> = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}1\varphi(x)dx }$
同理
$<\Pi,\varphi> = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\Pi(x)\varphi(x)dx}$
$<sin2\pi x,\varphi> = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}sin2\pi x\varphi(x)dx }$
匹配的运算过程，就是通过对$T$与$\varphi$的乘积进行积分
$<T,\varphi> = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}T(x)\varphi(x)dx }$
并非所有函数都会在匹配后积分收敛，但是大多数的函数，甚至特别奇异的函数都能使得积分收敛，匹配成立，因为测试函数是很优秀的。对于傅里叶变换来说，速降函数作为测试函数就足够优秀，在这种情况下$\Pi,\Lambda,sin,cos$常数等函数都能作为分布进行积分。
