[傅里叶变换及其应用学习笔记] 十一. 纠错，一些补充
这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。
传统傅里叶变换所存在的问题
我们把我们前面所学习的傅里叶变换称为传统傅里叶变换。按照我们原来的理论，只有函数的积分收敛了，它才能进行傅里叶变换。如此一来，对于常规的$sin$，$cos$，常数函数等则无法进行傅里叶变换，因此，我们需要一个更鲁棒的傅里叶变换，使之能处理这些常规函数。
原本的傅里叶变换之所以无法应用到这些常规函数，问题的关键在于积分的收敛性。
传统的傅里叶变换主要有两个问题：
1. 傅里叶变换基于积分的收敛
2. 傅里叶逆变换必须可行，否则尽管傅里叶正变换被执行了也毫无意义
问题例子1
$f(t) = \Pi(t)$
$\begin{align*}
&\mathcal{F}\Pi = sinc & \mathcal{F}\Pi = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}ds \\
&\mathcal{F}^{-1}sinc = \mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}\Pi = \Pi & \mathcal{F}^{-1}sinc = \int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ist}\frac{sin\pi s}{\pi s}ds \\
&\mathcal{F}sinc = \mathcal{F}\mathcal{F}\Pi = \Pi^{-} = \Pi & \mathcal{F}sinc = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}\frac{sin \pi s}{\pi s}ds }
\end{align*}$
在左方的式子中，我们能很轻松地运用傅里叶的逆变换、对偶等定理得到结果，但是在实际应用中我们对信号进行傅里叶转换并处理后，通常需要像右方的式子进行计算后去获得原始的信号，而右方的第二三个式子的积分求法是非常困难的。另外，在计算的时候还必须面对一些函数的收敛性问题——由于$\Pi$函数是跳跃的，最终积分运算得到的$\Pi$会在跳变点$\pm \frac{1}{2}$处取值为$\frac{1}{2}(0+1)$，尽管我们能处理这种情况。
结论就是，对于最简单的$\Pi$函数都出现了这样的问题，需要用特殊的技巧、进行特殊的讨论，这使得我们对传统的傅里叶变换的适用性产生了怀疑。
问题例子2
$\begin{align*}
&f(t) = 1 & \mathcal{F}f(t) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}dt } \\
&f(t) = sin2\pi t & \qquad \mathcal{F}f(t) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}sin2\pi t dt } \\
&f(t) = cos2\pi t & \qquad \mathcal{F}f(t) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}cos2\pi t dt }
\end{align*}$
对于这些不收敛的函数的积分是无意义的。
处理这些问题的方法
有两种方法可以处理这些问题：
1. 针对特殊函数进行特殊的研究
2. 从基础重新研究傅里叶变换，得到一个更鲁棒的、能适用各种函数的新傅里叶变换的定义
在1940年代以前，各种数学家、科学家们都是采用第一种方法，对各种各样的函数进行研究。40年代以后，科学家们开始采用第二种方法，这种方法发展至今已经相当成熟，我们从这里开始研究第二种方法，探究新的傅里叶变换的定义。
傅里叶变换的最佳函数
首先找出最适合进行傅里叶变换的函数，这类函数被称为$S$（Schwartz定义了这类函数）。$S$需要满足两个前提条件
1. 如果$f(t) \in S$，那么$\mathcal{F}f \in S$
2. 如果$f(t) \in S$，$f(t)$能进行傅里叶正逆变换的积分计算，$\mathcal{F}\mathcal{F}^{-1}f = f$，$\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}f = f$
条件一，排除了$\Pi$函数，因为我们能通过积分得到$\Pi$函数的傅里叶变换为$sinc$函数，而无法通过积分得到$sinc$的逆傅里叶变换。
条件二，排除了$sin,cos$常数函数，因为他们的傅里叶变换没有被定义，无法执行积分计算。
速降函数（Rapidly Decreasing Functions）
$S$（Schwartz）作为最适合进行傅里叶变换的函数，也被叫做速降函数，设有速降函数$f(x) \in S$它的定义如下
1. $f(x)$是无限可微的（光滑函数）
2. 对于任何$m,n \geqslant 0$，都有$\displaystyle{ \lim_{x \to \pm \infty} |x|^n\left| \frac{\partial^m}{\partial x^m} f(x)\right| = 0 }$
即$f(x)$的任意阶导趋于$0$的速度都比$x$的的任意次方上升速度快。这些定义是由傅里叶的导数定理（derivative theorem）引申出来的。相关推导如下：
Decay $\Rightarrow$ Smoothness
在传统傅里叶变换中我们经常假设$|f(x)|$是可积分的（integrable），现在我们更大胆点去假设$|xf(x)|$是可积的，即
$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}|xf(x)|dx < \infty }$
那么$xf(x)$傅里叶变换是有意义的，那么$-2\pi ixf(x)$也能进行傅里叶变换
$\begin{align*}
\mathcal{F}(-2\pi ixf(x))
&= \int_{-\infty}^{\infty}(-2\pi ix)e^{-2\pi isx}f(x)dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\left( \frac{\partial}{\partial s}e^{-2\pi isx} \right)f(x)dx \\
&= \frac{\partial}{\partial s}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}f(x)dx \\
&= \frac{\partial}{\partial s}(\mathcal{F}f)(s)
\end{align*}$
在$|xf(x)|$可积的这个前提下，我们算出了$\mathcal{F}f(s)$是可微的（即连续的），它微分后得$\mathcal{F}(-2\pi ixf(x))$。
更深入探讨一下傅里叶变换的二阶微分，假设$|x^2f(x)|$是可积分的，得
$\begin{align*}
\mathcal{F}((-2\pi ix)^2f(x))
&= \int_{-\infty}^{\infty}(-2\pi ix)^2e^{-2\pi isx}f(x)dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\left( \frac{\partial^2}{\partial^2 s}e^{-2\pi isx} \right)f(x)dx \\
&= \frac{\partial^2}{\partial^2 s}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}f(x)dx \\
&= \frac{\partial^2}{\partial^2 s}(\mathcal{F}f)(s)
\end{align*}$
以此类推，$|x^nf(x)|$可积则代表了$\mathcal{F}f(s)$为$n$阶可微。$|x^nf(x)|$的可积表示了其积分的值为固定值，因此$f(x)$会衰减，其衰减速率类似于$\frac{1}{s^n}$，随着$n$的增大，$f(x)$衰减的速度会越来越快，其傅里叶变换$\mathcal{F}f(s)$会变得更光滑，那么我们在此可以得到结论：
- $f(x)$衰减越快，其傅里叶变换$\mathcal{F}f(s)$则越光滑。
Smoothness $\Rightarrow$ Decay
采用与上面的推导过程不同的方法，这里首先假设$f(x)$是可微的，它的导数$f'$是可积的，并且有$\displaystyle{ \lim_{x \to \pm\infty}f(x) = 0 }$，则
$\begin{align*}
\mathcal{F}(s)
&= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}f(x)dx \\
&= \left[ f(x)\frac{e^{-2\pi isx}}{-2\pi is}\right]_{x=-\infty}^{x=\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-2\pi isx}}{-2\pi is}f'(x)dx \\
&= \frac{1}{2\pi is}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}f'(x)dx \qquad \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0 \Rightarrow \left[ f(x)\frac{e^{-2\pi isx}}{-2\pi is}\right]_{x=-\infty}^{x=\infty}=0 \\
&= \frac{1}{2 \pi is}(\mathcal{F}f')(s)
\end{align*}$
取绝对值，有
$\begin{align*}
|\mathcal{F}f(s)|
&= \left|\frac{1}{2\pi is}(\mathcal{F}f')(s)\right| \\
&= \displaystyle{\frac{1}{2 \pi s}\left| \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}f'(x)dx\right| }\\
&\leqslant \frac{1}{2\pi s} \int_{-\infty}^{\infty}|e^{-2\pi isx}||f'(x)|dx \\
&= \frac{1}{2\pi s}\int_{-\infty}^{\infty}|f'(x)|dx \\
&= \frac{1}{2\pi s}\left \| f' \right \|_1
\end{align*}$
$\left \| f' \right \|_1$表示了对$f'$的绝对值进行积分，这个叫做$L_1-norm$。由于$f'$是可积的，因此其积分为固定值，这意味着$\mathcal{F}f$趋于$0$的速度类似于$\frac{1}{s}$。
进一步假设$f(x)$是二阶可微，并且其一阶积分$f'$、二阶微分$f''$可积，另外还满足$\displaystyle{ \lim_{x \to \pm\infty}f(x) = 0}$，$\displaystyle{\lim_{x\to\pm\infty}f'(x)=0 }$。
则有，
$\begin{align*}
\mathcal{F}f(s)
&= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}f(x)dx \\
&= \frac{1}{2\pi is}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}f'(x)dx \qquad (picking \ up \ on \ where \ we \ were \ before)\\
&=\frac{1}{2\pi is} \left( \left[f'(x)\frac{e^{-2\pi isx}}{-2\pi is} \right]_{x=-\infty}^{x=\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-2\pi isx}}{-2\pi is} f''(x)dx\right )\\
&=\frac{1}{(2\pi is)^2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}f''(x)dx \qquad(\lim_{x\to\pm\infty}f'(x)=0 \Rightarrow \left[f'(x)\frac{e^{-2\pi isx}}{-2\pi is} \right]_{x=-\infty}^{x=\infty}=0)\\
&=\frac{1}{(2\pi is)^2}(\mathcal{F}f'')(s)
\end{align*}$
因此，
$|\mathcal{F}f(s)| \leqslant \frac{1}{|2\pi s|^2}\left\| f''\right\|_1$
由于$f''$是可积的，因此其积分为固定值，这意味着$\mathcal{F}f$趋于$0$的速度类似于$\frac{1}{s^2}$。那么我们可以得出结论：
- $f(x)$越光滑，而且在这基础上其微分都可积，其傅里叶变换$\mathcal{F}f(s)$衰减得越快
速降函数
把得到的这两个结论结合起来，即
$f(x)$ 的衰减速率及光滑度将会影响其傅里叶变换$\mathcal{F}f(s)$的光滑度与衰减速率。因此最简单有效结合这些现象的方式就是允许$f(x)$能以任意速率进行衰减，能有任意阶的光滑度：
$|x^m\frac{\partial^n}{\partial x^n}f(x)| \leqslant C_{mn}$
$m,n$的取值为任意非负整数。$C_{mn}$为常数，有了这个常数才能从式子中体现出$f(x)$衰减，即式子有上界$C_{mn}$。这个式子也等同于
$|x^m\frac{\partial^n}{\partial x^n}f(x)| \to 0 \quad as \quad x\to \pm\infty$
在x轴两端趋于$0$。
速降函数的正逆傅里叶变换仍是速降函数
证明过程如下：
对于任意阶可微以及任意阶可衰减的速降函数来说，由前面衰减与光滑度的推论已经可以得到下面的等式，
$\begin{align*}
(2\pi is)^n\mathcal{F}f(s) &= \left( \mathcal{F}\frac{\partial^n}{\partial x^n}f \right )(s) \\
\frac{\partial^n}{\partial s^n}\mathcal{F}f(s) &= \mathcal{F}\left( (-2\pi ix)^n f(x)\right)
\end{align*}$
把两个等式合并起来
$\begin{align*} \mathcal{F}\left(\frac{\partial^n}{\partial x^n}((-2\pi ix)^mf(x)) \right ) &=(2\pi is)^n\frac{\partial^m}{\partial s^m}\mathcal{F}f(s) \\
(-2\pi i)^m\mathcal{F}\left(\frac{\partial^n}{\partial x^n}(x^mf(x)) \right ) &= (2\pi is)^n\frac{\partial^m}{\partial s^m}\mathcal{F}f(s) \\
|(-2\pi i)^m|\left| \mathcal{F}\left(\frac{\partial^n}{\partial x^n}(x^mf(x)) \right )\right| &= |(2\pi is)^n|\left|\frac{\partial^m}{\partial s^m}\mathcal{F}f(s)\right| \\
(2\pi)^{m-n}\left| \mathcal{F}\left(\frac{\partial^n}{\partial x^n}(x^mf(x)) \right )\right| &= |s|^n
\left|\frac{\partial^m}{\partial s^m}\mathcal{F}f(s)\right|
\end{align*}$
把$\left| \mathcal{F}\left(\frac{\partial^n}{\partial x^n}(x^mf(x)) \right )\right|$转换为$L_1-norm$的形式，则有
$\left|s^n\frac{\partial^m}{\partial s^m}\mathcal{F}f(s)\right| \leqslant (2\pi)^{m-n}\left\| \frac{\partial^n}{\partial x^n}(x^mf(x)) \right\|_1$
由于$f(x)$为速降函数，因此上边等式的右边得到的值为有限值，记为$C_{mn}$，因此有
$\left|s^n\frac{\partial^m}{\partial s^m}\mathcal{F}f(s)\right| \leqslant C_{mn}$
因此得结论
$\mathcal{F}f(s) \in S \quad as \quad f(x) \in S$
逆傅里叶变换与正傅里叶变换只在$e$的复指数上相差一个$-$号，因此同理也能证明
$\mathcal{F}^{-1}f(x) \in S \quad as \quad f(s) \in S$
Parserval等式
$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}|\mathcal{F}f(s)|^2ds = \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2dx }$
该等式表明信号在时域与频域的能量相等。其一般形式为：
设有$f(x),g(x) \in S$，则
$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}f(s)\bar{\mathcal{F}g(s)}2ds = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\bar{g(x)}dx }$
推导过程如下：
$g(x) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi isx}\mathcal{F}g(s)ds }$
$\rightarrow \quad \bar{g(x)} = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}\bar{\mathcal{F}g(s)}ds}$
则，
$\begin{align*}
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\bar{g(x)}dx
&= \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\left( \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}\bar{\mathcal{F}g(s)ds}\right)dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\left( \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi isx}dx \right )\bar{\mathcal{F}g(s)}ds \\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}f(s)\bar{\mathcal{F}g(s)}ds
\end{align*}$
同理，由于$|e^{2\pi isx}| = 1$，因此
$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}|\mathcal{F}f(s)|^2 ds = \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2 dx }$
