[傅里叶变换及其应用学习笔记] 七. 傅里叶正(反)变换复习

这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。

 

傅里叶变换没有统一的定义

符号

傅里叶变换的符号在不同的书籍可能有不同的写法：

如正变换的符号：$\mathcal{F} f(s)$，$\hat{f}(s)$，$F(s)$

如反变换的符号：$\mathcal{F}^{-1}f(t)$，$\check{f}(t)$，$f(t)$

 

公式

傅里叶变换的公式也没有统一的写法：

本课程采用的是如下公式

$\mathcal{F} f(s) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(t)dt }$

另外有些书本的写法是

$\mathcal{F} f(s) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ist}f(t)dt }$

这是由于采用不同的周期而导致的，但是尽管写法不同，但表示的都是同样的意思。

 

 

高斯（Gaussian）函数的傅里叶变换

高斯函数的归一化（积分为1）式子如下：

$f(t) = e^{-\pi t^2}$

高斯函数图像如下：

 

对高斯函数进行积分过程如下：

由于高斯函数的变量$t$是在幂的位置上，而且是二次方，因此无法直接用$dt$对其进行积分计算。下面采用极坐标方法

$\begin{align*}
\left(\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi t^2}dt}\right)^2
&=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi x^2}dx\times \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi y^2}dy}\\
&=\displaystyle{\iint_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi(x^2+y^2)}dxdy}\\
&=\int_0^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-\pi r^2}rdrd\theta\\
&=2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-\pi r^2}rdr\\
&=2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-\pi r^2}d(\frac{1}{2}r^2)\\
&=\frac{2\pi}{\pi}\times\frac{1}{2}\int_0^{\infty}e^{-\pi r^2}d\pi r^2\\
&=\int_0^{\infty}e^{-s}ds\\
&=\left. -e^{-s}\right|_0^{\infty}\\
&=0-(-1)\\
&=1
\end{align*}$

那么该高斯函数的积分为

$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi t^2}dt = \sqrt{1} = 1 }$

 

下面对高斯函数进行傅里叶变换

$\begin{align*}
F(s)=\mathcal{F} f(s)
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}e^{-\pi t^2}dt
\end{align*}$

 

这也是一个非常难以积分的项，我们需要采用其他巧妙的方法：微分

$\begin{align*}
F'(s)=\mathcal{F} f'(s)
&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d(e^{-2\pi ist})}{ds}e^{-\pi t^2}dt\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}-2\pi ite^{-2\pi ist}e^{-\pi t^2}dt\\
&=i\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}(-2\pi te^{-\pi t^2})dt\\
&=i\left(\left. e^{-2\pi ist}e^{-\pi t^2}\right|_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi t^2}(-2\pi ise^{-2\pi ist})dt\right)\\
&=-2\pi s\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}e^{-\pi t^2}dt\qquad eliminate\  \left. e^{-2\pi ist}e^{-\pi t^2}\right|_{-\infty}^{\infty}\ because\ |e^{-2\pi ist}|=1,\lim_{t\to\infty}e^{-\pi t^2}=0\\
&=-2\pi sF(s)
\end{align*}$

求偏微分方程，得

$F(s) = F(0)e^{-\pi s^2} = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi t^2}dt\times e^{-\pi s^2} } = e^{-\pi s^2}$

也就是说归化为1的高斯函数的傅里叶变换还是归化为1的高斯函数

 

反转信号（reverse signal）

这是一个新的定义，目的是为了方便式子的表达，定义如下

令$f^{-}(t) = f(-t)$

$f^{-}(t)$即为$f(t)$的反转

 

傅里叶变换的对偶性（Fourier Transform Duality）

回顾一下傅里叶变换：

$F(s) = \mathcal{F} f(s) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(t)dt }$

当取值为$-s$时，

$F(-s) = \mathcal{F} f(-s) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ist}f(t)dt } = \mathcal{F}^{-1}f(s)$

一般来说，$f(t)$是时域，$F(s)$是频域，$f(t)$通过傅里叶变换得到$F(s)$，$F(s)$通过逆变换得到$f(t)$。不过上面的式子是对$f(t)$进行傅里叶逆变换，在这里，我们并不需要分析这个等式所表示的含义，而是把傅里叶变换当作工具使用。

 

对偶定理1

把反转信号引入傅里叶变换的对偶性中，得$\mathcal{F} f(-s) = (\mathcal{F} f)^{-}(s)$，而且上面对偶性讨论已得出结论：$\mathcal{F} f(-s) = \mathcal{F}^{-1}f(s)$，即有

$(\mathcal{F} f)^{-}(s) = \mathcal{F}^{-1}f(s)$

$(\mathcal{F} f)^{-} = \mathcal{F}^{-}f$

函数的傅里叶变换的反转等于对该函数进行傅里叶逆变换。

 

对偶定理2

如果对$f^{-}(t)$进行傅里叶变换会得到什么结果呢？

$\begin{align*}
\mathcal{F}(f^{-}(s))
&= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(-t)dt\\
&= \int_{+\infty}^{-\infty}e^{-2\pi is(-u)}f(u)d(-u) \qquad let \ u=-t\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi isu}f(u)du\\
&= \mathcal{F}^{-1}f(s)
\end{align*}$

即，

$\mathcal{F}(f^{-}) = \mathcal{F}^{-}f$

函数的反转的傅里叶变换等于对该函数进行傅里叶逆变换。

 

对偶定理3

把对偶定理1与对偶定理2结合起来，得

$(\mathcal{F} f)^{-} = \mathcal{F}(f^{-})$

函数的傅里叶变换的反转等于对该函数反转的傅里叶变换

 

对偶定理4

对函数进行两次傅里叶变换

$\mathcal{F}\mathcal{F} f = \mathcal{F}(\mathcal{F} f) = \mathcal{F} (\mathcal{F}^{-}(f^{-})) = f^{-}$

函数连续进行两次傅里叶变换等于该函数的反转。

 

对偶定理的应用

对偶定理的目的是为了方便计算，如：

求$sinc$函数的傅里叶变换。

$sinc = \frac{sin \pi s}{\pi s}$

 

由上一节课我们知道$\pi$函数经过傅里叶变换后得到$sinc$函数，那么我们就运用傅里叶变换的对偶定理能进行如下计算

$\mathcal{F} sinc = \mathcal{F}\mathcal{F} \pi = \pi^{-} = \pi$