[傅里叶变换及其应用学习笔记] 四. 傅里叶级数

这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。

 

L2积分

在上节课最后，引出了均方收敛，

$\displaystyle{\int_0^1\left| \sum_{k=-n}^{n}\hat{f}(k)e^{2\pi ikt}-f(t)\right|^2 dt} \to 0 \ \text{if} \ n  \to \infty$

均方收敛的这种分析方法需要$f(t)$满足一个条件：$f(t)$在$[0,1]$内可积，即$\displaystyle{\int_0^1\left|f(t)\right|^2dt<\infty}$。这种积分被称为$L2$积分，L代表数学家Lebesgue。若$f(t)$满足该积分条件，则可表示为$f\in L^2([0,1])$。

 

正交

还记得我们在推导傅里叶式子的时候用了一个积分：

$\displaystyle{\int_0^1e^{2\pi ikt}e^{-2\pi imt}dt = \int_0^1e^{2\pi i(k-m)t}dt = 0, \quad k\neq m}$

这个简单的式子，将把“几何”引入到平方可积函数中$L^2([0,1])$，我们会应用到“几何”中的垂直（正交）概念。通过点乘（dot product）、又称内积（inner product）运算，如果运算得到的结果为0，则将进行运算的两者定义为垂直（perpendicularity），又可称为正交（orthogonality）。

定义如下：

设有复变函数$f,g\in L^2([0,1])$，那么可以把$f,g$分别认为是向量，求这两个向量的内积方法为

$(f,g) = \displaystyle{\int_0^1f(t)\bar{g}(t)dt}$

当$(f,g)=0$时，就可以说$f$与$g$正交。

 

模

类比到向量的模，也就是求向量的平方。

$\displaystyle{(f,f)=\left \| f \right \|^2=\int_0^1\left| f(t) \right| ^2dt}$

 

勾股定理

$\displaystyle{\left \| f+g \right \|^2 = \left \| f \right \|^2 + \left \| g \right \|^2 }$

当且仅当$(f,g)=0$时成立。

 

投影

利用向量的内积来定义并计算投影（projections）。

几何上的投影如下图：

如果$v$是单位向量（正交基），那么$(u,v)$就是$u$在$v$上的投影。

 

类比到傅里叶系数：

$\displaystyle{\hat{f}(n)=\int_0^1f(t)e^{-2\pi int}dt = (f(t), e^{2\pi int})}$

因此傅里叶系数$\hat{f}(n)$是原函数$f(t)$在$e^{2\pi int}$上的投影。

 

正交基

几何上的正交基如下图：

$u = (0,1), \ v = (1,0)$

$u,v$间有如下关系：

$(u,u) = u^2 = 1, \ (v,v) = v^2 = 1$

$(u,v) = 0$

 

类比到傅里叶系数：

$(e^{2\pi imt}, e^{2\pi ikt}) = \left\{\begin{matrix} 1 & m = k \\ 0 & m \neq k \end{matrix}\right.$

因此$e^{2\pi ikt}$被称为傅里叶变换中的正交基。

 

分量

几何上，一个向量$a$的分量如下图：

设x,y轴上分别有正交基$u,v$，那么$a$在x,y轴上的分量计算方法如下：

$a_x = (a,u)u, \ a_y = (a,v)v$

即通过内积得到投影，然后用投影乘上代表向量方向的正交基，得到该方向上的分量。

 

类比到傅里叶变换：

而根据傅里叶变换的推导，原函数$f(t)$有如下公式：

$\begin{align*} \displaystyle{f(t)} &= \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\hat{f}(t)e^{2\pi ikt} } \\ &= \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}(f, e^{2\pi ikt})e^{2\pi ikt} } \end{align*}$

函数进行傅里叶变换后的每一项，都是函数在正交基$e^{2\pi ikt}$上的分量。反过来看，这些分量相加组合成完整的原始函数。

 

瑞利等式（Rayleigh's Identity）

几何向量有勾股定理：

$c^2 = a^2 + b^2, \ (a,b) = 0$

 

类比到傅里叶变换有瑞利等式如下：

$\displaystyle{\int_0^1 \left | f(t) \right |^2dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left | \hat{f}(k) \right |^2 }$

傅里叶变换后的项互为正交项，正交项内积为0

 

 

 

热流应用（application to heat flow）

研究的问题如下：

    在一个空间中，温度初始分布函数为$f(x)$，$x$为空间变量。求温度如何随着时间与空间变化？

 

典型例子：热环

$x$是圆环上的点，$U(x,t)$是某点$x$，某时刻$t$的温度项。

 

求解过程如下：

设圆环周期为1，有

$f(x+1) = f(x)$，即$U(x+1,t) = U(x,t)$

根据傅里叶变换有如下等式，

$U(x,t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k e^{2\pi ikx} }$

另外还有时间变量$t$，那么$t$应该被包含在$C_k$中，即

$U(x,t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(t)e^{2\pi ikx} }$

现在我们的目的就变成了求傅里叶系数$C_k(t)$，如果知道了$C_k(t)$，就等于知道了温度的变化规律。

热流在一维上，有如下扩散方程（diffusion equation）：

$U_t = aU_{xx}$

$U_t$为$U$对$t$的一次微分，$U_{xx}$为$U$对$x$的二次微分。令$a=\frac{1}{2}$，则

$\color{blue}{U_t} = \color{red}{\frac{1}{2}U_{xx}}$

把$U(x,t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(t)e^{2\pi ikx} }$代入上式，得

$\color{blue}{U_t} = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\color{blue}{C_k'(t)}e^{2\pi ikx} }$

$\begin{align*} \color{red}{\frac{1}{2}U_{xx}}  &= \frac{1}{2} \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(t)(2\pi ik)^2 e^{2\pi ikx} } \\ &= \frac{1}{2} \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(t)(-4\pi^2k^2)e^{2\pi ikx} } \\ &= \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\color{red}{C_k(t)(-2\pi^2k^2)}e^{2\pi ikx} } \end{align*}$

两边对比得，

$\color{blue}{C_k'(t)} = \color{red}{–2\pi^2k^2C_k(t)}\qquad \text{for all }k\in \mathbb{Z}$

上述等式为普通的一次微分方程，求解得

$C_k(t) = C_k(0)e^{-2\pi^2k^2t}$