[傅里叶变换及其应用学习笔记] 三. 复习，将一般周期函数表示成简单周期函数和
这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。
复习
上节课，我们假设了一般周期函数可以用$sin$来合成，并推导出了它的复指数公式：
$f(t)=\displaystyle{\sum_{k=-n}^n}C_ke^{2\pi ikt}$
然后，我们又推导出了$C_k$的求解公式：
$C_m=\displaystyle{\int_0^1}e^{-2\pi imt}f(t)dt$
现在，我们为$C_m$赋予一个新的名称，傅里叶系数（fourier coefficient），用$\hat{f}(k)$表示。
即有
$f(t) = \displaystyle{\sum_{k=-n}^n}\hat{f}(k)e^{2\pi ikt}$
$\hat{f}(k) = \displaystyle{\int_0^1}e^{-2\pi ikt}f(t)dt$
通用性问题验证
现在回到通用性这个问题，那么$f(t) = \displaystyle{\sum_{k=-n}^n}\hat{f}(k)e^{2\pi ikt}$这个多项式是否能表示一般周期函数？
下面举个例子，
有如下图信号：
我们可以简单地得到该函数的傅里叶系数，
$\hat{f}(k) = \displaystyle{\int_0^{\frac{1}{2}}}e^{-2\pi ikt}dt$
其中，k为系数自变量，积分函数为$e^{-2\pi ikt}$，范围是$0$到$\frac{1}{2}$，这样已经可以直接算出一个数值了。那么我们是否可以这样写回去？
$f(t) = \displaystyle{\sum_{k=-n}^n} \hat{f}(k)e^{2\pi ikt}$
答案是否定的！还记得公式最初是从$f(t)=\displaystyle{\sum_{k=1}^n}A_ksin(2\pi kt+\varphi_k)$推导的么，对于上述信号的等式，等号的右边是三角函数的组合，因此无限可微，而左边，如上图，是不连续的，因此不是无限可微的，因此式子两边不能画上等号！
无限求和（infinite sums）
从几何图形上看，对于$sin$所画的图形，频率越高，观察上去往往就会觉得没那么平滑，尽管它实际上是平滑的（无限可微）。那么我们就可以在数学上这样考虑这个问题：如果傅里叶系数有无限多个项，是否就能用来表示一般周期函数？
$f(t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}} \hat{f}(k)e^{2\pi ikt}$
收敛问题（issue of convergence）
在引入了$\infty$后，出现了一个新问题，就是在实际应用中，我们并不会计算无穷项，而会在有限项处截断。在这时候，如果求和后是收敛的，那么我们会有足够的信心可以得到所要信号的近似值；但是如果不是收敛的话，还能得到想要信号的合理近似值吗？因此，我们需要去了解这个式子的收敛问题。
在本课程上，不会去证明收敛问题，而是直接给出了结论。
两类特殊信号的收敛性如下：
- 如果信号是平滑连续的（连续可微），在所有的$t$处都会收敛于$f(t)$
- 如果信号是有跳变的，在跳变点将收敛于跳变点前、后的平均值。如下例子
设$t_0$为跳变点，$\displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}}\hat{f}(k)e^{2\pi ikt_0}$收敛于$\frac{f(t_0^+)+f(t_0^-)}{2}$。
一般信号（也包括上述两种情况）的收敛性在分析的时候，不采用逐点判断收敛性的方法，用均方收敛（convergence in the mean）。
对于一个周期为1的函数，均方收敛需要满足：
$\displaystyle{\int_0^1}\left| f(t) \right|^2dt<\infty$
上面的式子可以被理解为能量是有限的，这是一个合理的物理假设。
均方收敛的分析公式如下：
$\displaystyle{\int_0^1\left| \sum^{n}_{k=-n}\hat{f}(t)e^{2\pi ikt}-f(t) \right|^2dt}$
当$n \to \infty$的时候，上述式子$\to 0$则证明$\displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}}\hat{f}(k)e^{2\pi ikt}$是收敛于$f(t)$的
