[傅里叶变换及其应用学习笔记] 二. 周期性，三角函数表示复杂函数

    这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。

 

这节课目的

如何用像$sin$，$cos$这些简单的函数来表示复杂周期函数。

 

信号周期化

并不是所有现象都是周期性的，而且即使是周期性的现象（时间周期性），最终都会终结。而$sin$，$cos$这些数学函数是无始无终的，那么我们该怎么做？

我们采用了一种叫信号周期化的方法：

设有如下信号（左）

我们可以把它无限复制，这样就成了一个周期信号，然后研究我们感兴趣的部分（单一周期内的信号）。

由于有了信号周期化这种做法，我们的傅里叶研究将相当广泛。

 

设定周期

为了方便我们后面的学习，在此设定周期为1，后面的学习会遵循该设定，即

$f(t+1) = f(t)$

因此信号模型为$sin(2\pi t)$与$cos(2\pi t)$。

 

结论

首先引出结论，周期为1的信号，可以由$sin(2\pi t)$或$cos(2\pi t)$组成

 

一个周期，多个频率

举个例子

下图分别为$sin(2\pi t)$，$sin(4\pi t)$，$sin(6 \pi t)$的图形

     

$sin(2\pi t)$的周期是1，频率是1。

$sin(4\pi t)$的周期是1/2，频率是2，但是1也可以是它的周期。

$sin(6\pi t)$的周期是1/3，频率是3，但是1也可以是它的周期。

把他们组合起来(相加)得到$sin(2\pi t)+sin(4 \pi t)+sin(6\pi t)$，图形如下

这个复杂的图形的周期还是1，它是由周期为1，频率不同的sin函数组成的。

 

上面的例子只是不同频率的组合，我们还可以改变他们的振幅，相位。这表明我们通过$sin$已经可以组成非常多的信号

$\displaystyle{\sum^n_{k=1}}A_k sin(2\pi kt+\varphi_k)$

注：k=1的项被称为基波（fundamental wave），k>1的项被称为谐波（harmonic）

 

公式推导

对sin进行分解

$sin(2\pi kt + \varphi_k)=sin(2\pi kt)cos\varphi_k+cos(2\pi kt)sin\varphi_k$

因此有

$\begin{align*} &\quad \sum^n_{k=1}A_ksin(2\pi kt + \varphi_k)\\ &=\sum^n_{k=1}A_ksin(2\pi kt)cos\varphi_k+cos(2\pi kt)sin\varphi_k\\ &=\sum^n_{k=1}(a_kcos(2\pi kt)+b_ksin(2\pi kt)) \end{align*}$

$a_k,b_k$与相位$\varphi_k$和振幅$A_k$有关。

另外，我们还可以添加一个常量来表示其中不变的部分：

$\frac{a_0}{2}+\displaystyle{\sum^n_{k=1}}(a_kcos(2\pi kt)+b_ksin(2\pi kt))$

该常量$\frac{a_0}{2}$被称为直流分量（DC component）。

 

复指数式

上面的式子还可以推导成复指数的方式

有如下欧拉公式：

$e^{2\pi ikt} = cos(2\pi kt)+isin(2\pi kt), i=\sqrt{-1}$

$cos(2\pi kt) = \frac{e^{2\pi ikt} + e^{-2\pi ikt}}{2}$

$sin(2\pi kt) = \frac{e^{2\pi ikt} - e^{-2\pi ikt}}{2i}$

 

通过欧拉公式对上述式子进行展开，得

$\begin{align*} &\quad a_kcos(2\pi kt)+b_ksin(2\pi kt)\\ &= \frac{a_ke^{2\pi ikt}+a_ke^{-2\pi ikt}}{2}+\frac{b_ke^{2\pi ikt}-b_ke^{-2\pi ikt}}{2i}\\ &= \frac{a_ke^{2\pi ikt}+a_ke^{-2\pi ikt}}{2}+\frac{-b_kie^{2\pi ikt}+b_kie^{-2\pi ikt}}{2}\\ &= \frac{a_k-b_ki}{2}e^{2\pi ikt}+\frac{a_k+b_ki}{2}e^{-2\pi ikt} \end{align*}$

分成$\frac{a_k-b_ki}{2}e^{2\pi ikt}$与$\frac{a_k+b_ki}{2}e^{-2\pi ikt}$两部分。按照我们前面的推论，$k$作为调整频率的系数，是一个正整数，现在如果我们把复指数上的符号移动到$k$上，$k$就称为了覆盖正负的整数，那么上面的式子就变成

$\begin{align*} a_kcos(2\pi kt)+b_ksin(2\pi kt)  &= \underbrace{\frac{a_k-b_ki}{2}e^{2\pi ikt}+\frac{a_k+b_ki}{2}e^{-2\pi ikt}}_{k>0}\\ &= \underbrace{\frac{a_k-b_ki}{2}e^{2\pi ikt}}_{k>0}+\underbrace{\frac{a_{-k}+b_{-k}i}{2}e^{2\pi ikt}}_{k<0} \end{align*}$

把$\frac{a_k-b_ki}{2}$和$\frac{a_{-k}+b_{-k}i}{2}$取出来用$C_k$表示，则有，

$C_k= \begin{cases} &\frac{a_k-b_ki}{2} \text{ , } k>0 \\ &\frac{a_{-k}+b_{-k}i}{2} \text{ , } k<0 \end{cases}$

即$C_k$为复数且满足以下条件，

$C_{-k}=\bar{C_k}$

 

有了上述条件，式子可以写成

$\begin{align*} &\quad \sum^n_{k=1}(a_kcos(2\pi kt)+b_ksin(2\pi kt))\\ &=\sum^n_{k=-n}C_ke^{2\pi ikt} \end{align*}$

 

上述推导引出一个结论：对于一个真实的信号（值为实数），当它转换为上述复数形式时，它的系数对称存在，即有$k$必然会有$-k$，且$C_k$与$C_{-k}$共轭。反过来，如果系数满足上述条件，那么此信号也是真实信号。

 

通用性

我们已经从sin的组合推导到了复指数之和的形式。那么说回来，这种三角函数的组合形式是否可以用到更大的范围？它是否适用于一般周期函数？

下面，我们假设这个推断是成立的，三角函数之和适用于一般周期函数，则有，

$f(t)=\displaystyle{\sum^n_{k=-n}}C_ke^{2\pi ikt}$

取出该多项式其中的一项$C_me^{2\pi imt},-n \leqslant m \leqslant n$，

$C_me^{2\pi imt} = f(t)-\displaystyle{\sum^n_{k\neq m}}C_k e^{2\pi ikt}$

等号两边同时乘以$e^{-2\pi imt}$，得

$\begin{align*} & C_m = e^{-2\pi imt}f(t)-\sum^n_{k\neq m}C_k e^{-2\pi imt}e^{2\pi ikt}\\ &\quad \  = e^{-2\pi imt}f(t)-\sum^n_{k\neq m}C_k e^{2\pi i(k-m)t} \end{align*}$

对等号两边同时积分

$\displaystyle{\int_{0}^{1}}C_mdt=C_m$

 

$\begin{align*} &\quad \int_{0}^{1}(e^{-2\pi imt}f(t)-\sum^n_{k\neq m}C_k e^{2\pi i(k-m)t})dt \\ &= \int_{0}^{1}e^{-2\pi imt}f(t)dt - \sum^n_{k\neq m}C_k\int_{0}^{1} e^{2\pi i(k-m)t}dt \\ &= \int_{0}^{1}e^{-2\pi imt}f(t)dt - \sum^n_{k\neq m}C_k\left.\frac{1}{2\pi i(k-m)}e^{2\pi i(k-m)t}\right|^1_0 \\ &= \int_{0}^{1}e^{-2\pi imt}f(t)dt - \sum^n_{k\neq m}C_k\frac{1}{2\pi i(k-m)}(e^{2\pi (k-m)t}-e^0) \\ &= \int_{0}^{1}e^{-2\pi imt}f(t)dt - \sum^n_{k\neq m}C_k\frac{1}{2\pi i(k-m)}(cos2\pi(k-m)+isin2\pi(k-m) - 1) \quad spread \ with \ Euler \ Formular \\ &= \int_{0}^{1}e^{-2\pi imt}f(t)dt - \sum^n_{k\neq m}C_k\frac{1}{2\pi i(k-m)}(1+0-1) \quad k \ and \ m \ is \ interger \\ &= \int_{0}^{1}e^{-2\pi imt}f(t)dt \end{align*}$

即，

$C_m = \displaystyle{\int_{0}^{1}}e^{-2\pi imt}f(t)dt$