随笔分类 - Fourier Transform
摘要：这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。 分布的导数（Derivative of a Distribution） 设有分布$T$，其导数为$T'$ $\begin{align*}<T',\varphi>&= \int_{-\infty}^{\infty}T'(
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摘要：这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。 分布傅里叶变换的定义 在傅里叶变换领域中，测试函数$\varphi$选择了速降函数（Schwartz Functions）。与之对应的分布$T$通常被称为缓增分布（Tempered Distributions）。 $<
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摘要：这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。 速降函数 速降函数$\varphi (x)$有如下定义 1) $\varphi(x)$无限可微 2) 对于任意$m,n$有 $|x|^n\left| \frac{\partial ^m}{\partial x^m}\v
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摘要：这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。 传统傅里叶变换所存在的问题 我们把我们前面所学习的傅里叶变换称为传统傅里叶变换。按照我们原来的理论，只有函数的积分收敛了，它才能进行傅里叶变换。如此一来，对于常规的$sin$，$cos$，常数函数等则无法进行傅里叶变换
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摘要：这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。 中心极限定理（Central Limit Theorem） 中心极限定理，简称CLT。大多数概率事件，当有足够多的取样时，都服从高斯分布。（Most probabilities – some kind of avera
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摘要：这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。 卷积在滤波中的应用 浑浊度（Turbidity）研究是关于测量水的清澈度的研究。大致方法是把光传感器放置到深水区域，然后测量光线的昏暗程度，测量出来的值将随时间变化。 （由于没有真实数据，下面用mathematica比
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摘要：这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。 在傅里叶变换中有时域$f(t)$，频域$F(s)$，他们的对应关系按照如下方式标记： $f(t) \ \leftrightarrow \ F(s)$ 时延性（Delayed） $f(t-b) \ \leftrighta
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摘要：这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。 傅里叶变换没有统一的定义 符号 傅里叶变换的符号在不同的书籍可能有不同的写法： 如正变换的符号：$\mathcal{F} f(s)$，$\hat{f}(s)$，$F(s)$ 如反变换的符号：$\mathcal{F}^{
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摘要：这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。 上节课讲到，在对非周期函数进行傅里叶分析时，有 $C_k = \displaystyle{\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-2\pi i\frac{
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摘要：这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。 热方程后续 上节课推导出热方程的傅里叶系数： $C_k(t) = C_k(0)e^{-2\pi ^2 k^2t}$ 那么$C_k(0)$是什么? 上节课有提到温度有如下关系式： $U(x,t) = \displayst
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摘要：这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。 L2积分 在上节课最后，引出了均方收敛， $\displaystyle{\int_0^1\left| \sum_{k=-n}^{n}\hat{f}(k)e^{2\pi ikt}-f(t)\right|^2 dt} \t
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摘要：这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。 复习 上节课，我们假设了一般周期函数可以用$sin$来合成，并推导出了它的复指数公式： $f(t)=\displaystyle{\sum_{k=-n}^n}C_ke^{2\pi ikt}$ 然后，我们又推导出了$C_k
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摘要：这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。 这节课目的 如何用像$sin$，$cos$这些简单的函数来表示复杂周期函数。 信号周期化 并不是所有现象都是周期性的，而且即使是周期性的现象（时间周期性），最终都会终结。而$sin$，$cos$这些数学函数是无始无终的
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摘要：这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。 本课程学习路线 从傅里叶级数开始，后续过渡到傅里叶变换。 扼要描述 傅里叶级数（fourier series），几乎等同于周期性现象的学习。 傅里叶变换（fourier transform），可作为傅里叶级数的极限情况
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