随笔分类 - Fourier Transform
摘要：用三角函数表示周期函数 傅里叶的相关理论始于下面假设：对于周期为1的信号$f(t)$，可以由不同频率的三角函数组成， $f(t) = \frac{a_0}{2}+\displaystyle{\sum^{\infty}_{k=1}}(a_kcos(2\pi kt)+b_ksin(2\pi kt))$
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摘要：FT of function $f(t)$ is to take integration of the product of $f(t)$ and $e^{-j\Omega t}$. By separating these two term into real and imaginary forms
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摘要：在第2课中，我们有以下推导 首先我们知道傅里叶级数就是能通过不同频率的三角函数组合起来的数学表达式： $S_n(t) = \frac{a_0}{2}+\displaystyle{\sum^n_{k=1}}(a_kcos(2\pi kt)+b_ksin(2\pi kt))$ 它能通过推导得到以下复指数
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摘要：1. 傅里叶级数 （第1课） 周期性现象在数学上通过三角函数进行表述 （第2课） 现象能通过周期化都变得具有周期性。 有一种周期函数叫做傅里叶级数，他们由不同频率的三角函数组合而成，并且能进一步推导成复指数的形式，当中的系数被称为傅里叶系数。 可以推导出傅里叶系数为 $C_k = \displays
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摘要：X射线断层摄影术（Tomography） 在商业上有两种不同的成像方法：CT、MRI，两种方法在实现方法上有部分相通的地方，这里讲述的是CT。 假设上图为一个身体剖面图，内含有各种粘性物质，如骨头、肌肉、血管、脊髓等，用可变密度函数$\mu(x_1,x_2)$来描述。如果我们知道$\mu$是什么，则
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摘要：一维Ш函数复习 我们前面（十六课，十七课）已经学习过一维的Ш函数，标准的Ш函数表现为无数个脉冲函数分布在整数点上， 我们定义Ш为 $Ш(x) = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(x-k) }$ 而Ш函数最为深刻的一个性质就是：Ш的傅里叶变
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摘要：高维傅里叶变换的移位定理 在一维傅里叶变换的移位定理时，有 $f(t) \quad \leftrightarrow \quad F(s)$ $f(t-b) \quad \leftrightarrow \quad e^{-2\pi isb}F(s)$ 在二维傅里叶变换的移位定理时，有两个变量，可分别对
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摘要：这节课主要讲傅里叶变换的计算，由于高维傅里叶变换有多个变量，多重积分，因此在计算时会有较大的困难。不过某些函数会有较为简捷的计算方式，下面来分析两类这样的函数。 可分离函数 有一类函数的高维傅里叶变换能通过计算一系列低维傅里叶变换来得到，这类函数被称为可分离函数。（There's an import
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摘要：高维意味着函数中有多个变量，典型的高维傅里叶应用为图像处理。 一个二维图像的亮度（灰度）可以用$f(x_1,x_2)$来表示，以lena为例，图像平面作为$x_1,x_2$平面，灰度作为$z$轴，形成一个三维曲面 original image front of curve surface side
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摘要：矩阵卷积，离散有限维线性时不变系统 与上一节课连续无限维线性时不变系统有相同的描述：当且仅当线性算符是用卷积表达的，该系统才是线性时不变系统（LTI system）。 $\underline{w} = Av = \underline{h}* \underline{v}$ 上述等式表达了离散有限维的线
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摘要：我们上节课学习了 脉冲响应（impulse response） 级联线性系统（Cascading linear system） 如果$L$与$M$都是线性的，有 $w=MLv$ 在连续无限维空间中 $\begin{align*}MLv&=M\left( \int_{-\infty}^{\infty}
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摘要：线性系统的基本定义 线性系统的基本定义 线性系统将输入与输出映射起来，输出满足叠加性原则（It's a mapping from inputs to outputs satisfies the principle of superposition） 下图为一个基本的线性系统 $L(v_1+v_2)
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摘要：DFT矩阵复习 我们来回顾一下DFT的矩阵运算：对离散信号$\underline{f}$进行DFT，就相当于用DFT矩阵$\underline{\mathcal{F}}$乘以列向量$\underline{f}$ $\begin{pmatrix} 1 &1 &1 &... &1 \\ 1 &\omeg
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摘要：DFT在零点 $\underline{\mathcal{F}}\underline{f}(0) = \displaystyle{ \sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]e^{-2\pi i\frac{n0}{N}} = \sum_{n=0}^{N-1}\underline{
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摘要：DFT 离散傅里叶变换有定义如下 有离散信号$\underline{f}=\left( \underline{f}[0],\underline{f}[1],…,\underline{f}[N-1] \right)$，它的DFT是离散信号$\underline{\mathcal{F}f}\left(
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摘要：采样定理在音乐上的应用 人可以听到20~20000Hz的声音，上限为20000Hz，即$\frac{p}{2} = 20000$，$p=40000$。那么采样率至少要为40000。CD的采样率采用44100（44.1kHz），据传，在采集模拟信号时采用44100，是因为这些采集的机器以该采样率设置时
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摘要：采样定理 上节课我们推导了采样定理的公式，该公式可以说是本课程最重要的公式。 设有带宽为$p$的函数$f(t)$，在频域对这个函数用$Ш_p$进行周期化后，再用$\Pi_p$对它进行裁剪，得到的还是原来的函数 $\mathcal{F}f = \Pi_p(\mathcal{F}f*Ш_p)$ 最终推导
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摘要：Ш函数的三个性质 上节课我们学习了$Ш_p$函数，其定义如下 $Ш_p = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(x-kp) }$ $Ш_p$函数有以下三个性质， 1) 采样性质，继承了$\delta$函数的采样性质 $f(x)Ш_p(x) =
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摘要：x射线晶体照像术 1) x射线是1895年由伦琴（Roentgen）发现的，其波长为$10^{-8}$厘米左右，常用的测量可见光波长的方法会由于其波长太小而无法测量。 2) 晶体（Crystals），晶体的原子结构符合一定规律——原子有序地排列成晶格。劳厄（Laue）在1912年做了一系列著名实验，
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摘要：这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。 光的衍射（Diffraction） 光在传播过程中，遇到障碍物或小孔（窄缝）时，它有离开直线路径绕到障碍物阴影里去的现象，这种现象称为光的衍射。衍射会产生明暗条纹或光环。 衍射的形成有三个要素： 1. 光源（sourc
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