中国剩余定理

作用及内容
可以用来求解n组线性同余方程的通解，例如有n个数 $a_{1}, a_{2}, a_{3} \dots a_{n}$ 和n个两两互质的数 $m_{1}, m_{2}, m_{3} \dots m_{n}$ 组成的线性同余方程组的通解 $x = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} M_{i} M_{i}^{- 1}$ （ $M_{i}^{- 1} 是 M_{i}$ 的逆元）

{\begin{cases} x \equiv a_{1} (m o d m_{1}) \\ x \equiv a_{2} (m o d m_{2}) \\ x \equiv a_{3} (m o d m_{3}) \\ \dots \\ x \equiv a_{n} (m o d m_{3}) \end{cases}

-数学证明
令 $M_{i} = \frac{m_{1} m_{2} m_{3} \dots_{n}}{m_{i}}$ ,因为 $m_{i}$ 之间两两互质所以 $M_{i}$ 和 $m_{i}$ 互质则 $M_{i}$ 有逆元 $M_{i}^{- 1} (m o d m_{i})$ ，则有 $M_{i} M_{i}^{- 1} \equiv 1 (m o d m_{i})$
通解为： $x = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} M_{i} M_{i}^{- 1}$ ,任取i=k,由于除了 $M_{K}, M_{i}$ 都是 $m_{i}$ 的倍数所以 $M_{i} % m_{i} = 0$ 则此时有
$x = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} M_{i} M_{i}^{- 1} = a_{k} M_{k} M_{k}^{- 1}$ 符合方程，证毕。

扩展中国剩余定理

作用
与中国剩余定理类似,只不过可以处理 $m_{i}$ 之间不互质的情况。

{\begin{cases} x \equiv a_{1} (m o d m_{1}) & (1) \\ x \equiv a_{2} (m o d m_{2}) & (2) \\ x \equiv a_{3} (m o d m_{3}) & (3) \\ \dots \\ x \equiv a_{n} (m o d m_{3}) & (n) \end{cases}

内容及数学推导
满足所有方程的x则必定得满足前两个方程，我们不妨先取前两个方程来看。 $(1) (2) 连立 ⟹ k_{1} m_{1} + a_{1} = k_{2} m_{2} + a_{2} ⟺ k_{1} m_{1} - k_{2} m_{2} = a_{2} - a_{1}$ ,由欧几里得算法，当 $a_{2} - a_{1}$ 是gcd(m1,-m2)的倍数时 $k_{1}, k_{2}$ 有解否则无解，如果此时无解则整个方程组必定无解。当有解时，由欧几里得算法， $k_{1} 的一个特解为 k_{1} = \frac{(a_{2} - a_{1})}{g c d (m 1, - m 2)}$ 通解为 $k_{1} = k_{1} + k \frac{m_{2}}{g d c (m_{1}, m_{2})}$ 将通解代入方程(1)的等价式子中可得( $x = k_{1} m_{1} + a_{1} + k \frac{m_{1} m_{2}}{g c d (m 1, m 2)})$ 令 $k_{1} m_{1} + a_{1} = m, k [m 1, m 2] = m$ ^[1],这样我们通过合并(1)(2)得到了一个类似与方程(1)(2)的新方程，我们可以重复这个过程n-1此就可以将n个方程合并为一个方程 $x \equiv a (m o d m)$ ,求解最小解x只需要求 $a % m$ ,因为a和x在模m的情况下是相等的。
-代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y=y-a/b*x;
    return d;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    LL a1,m1;
    cin>>a1>>m1;
    for(int i=0;i<n-1;i++)
    {
        LL a2,m2;
        scanf("%lld %lld",&a2,&m2);
        LL k1,k2;
        LL d=exgcd(a1,a2,k1,k2);//应该传-a2的,但是为了保证d不为负数从而使得t不为负数，就传a2，而且后面更新也没用用到k2，所以对结果没有影响
        if((m2-m1)%d)
        {
            puts("-1");
            return 0;
        }
        k1=k1*(m2-m1)/d;
        LL t=a2/d;
        k1=(k1%t+t)%t;
        m1=k1*a1+m1;//注意先更新m1再更新a1
        a1=a1*a2/d;
        
    }
    printf("%lld",m1%a1);
    
    
    return 0;
}