欧几里得(及其扩展算法)

欧几里得算法

  • 算法内容
    计算两个数的最大公约数的算法,也叫辗转相除法。即:
    gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
  • 数学证明
    设gcd(a,b)=d,则必定有:d|a且d|b,则必定有d|(ax+by)而a%b=a-a/b*b,所以d|(a%b),则d必定为b和a%b的约数,并且a%b必定小于a则d必定为b和a%b的最大公约数。
    -代码实现
    优美,太优美了!
    给定n对数a,b,求它们的最大公约数。
#include<iostream>
using namespace std;
int find(int a,int b)
{
    return b?find(b,a%b):a;//优美 太优美了!!!!
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        int res=find(a,b);
        printf("%d\n",res);
    }
    return 0;
}

扩展欧几里得算法

  • 算法作用
    数论中有对于一对正整数a,b,必定存在一对x,y使得ax+by=gcd(a,b),扩展欧几里得算法可以算出这一对x,y.
  • 算法内容
    求解ax+by=gcd(a,b),对于特殊的当b=0时有ax+by=gcd(a,0)=a,此时有x=1,y=0。当b 0时,gcd(a,b)=gcd(b,a%b),设gcd(a,b)=d,则有:
    ax+by=bx+(a%b)y=bx+(aabb)y=ay+b(xaby) 假如我们已经得到了yx只需令x=y,y=xaby,也在递归过程中相邻两个过程中将xy调换就只需令y=yabx.
  • 代码实现
    给定n对正整数a,b,对于每组都求出一对x,y,使得ax+by=gcd(a,b)
#include<iostream>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//注意这里x.y都是引用
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y=y-a/b*x;
    return d;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a,b;
        scanf("%d %d",&a,&b);
        int x,y;
        int res=exgcd(a,b,x,y);
        printf("%d %d\n",x,y);
    }
    return 0;
}
  • 代码细节
    这里传参的x,y都得使用引用,这样就可以对每一个形参x,y的改变就是对x,y的改变。

扩展欧几里得算法的应用

-(应用1) 线性同余方程组定义:
对于三个整数a,b,m 找到一个x,使得:ax=b(modm)

  • 利用扩展欧几里得算法求解线性同余方程组
    ax=b(modm)axb是m的倍数,不妨设为-y倍。则有:ax+my=b有欧几里得定理可知b必定为gcd(a,m)的倍数才有解,所以可以先求解ax+my=gcd(a,m),解出x,y,gcd(a,m),只要b不是gcd(a,b)的倍数就可以判断方程无解,如果b是gcd(a,b)的倍数那么x=xbgcd(a,m)
    -代码实现
    给定n组a,b,m,求出每一组的x使得ax=b(modm),如果不存在这个x输出"impossible"
#include<iostream>
using namespace std;a
typedef long long LL;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    else
    {
        int d=exgcd(b,a%b,y,x);
        y=y-a/b*x;
        return d;
    }
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a,b,m;
        int x,y;
        scanf("%d %d %d",&a,&b,&m);
        int res=exgcd(a,m,x,y);
        if(b%res)
        {
            printf("impossible\n");
        }
        else
        {
            cout<<(LL)x*b/res%m<<endl;
        }
    }
    
    return 0;
}
  • (应用2)求逆元
    对于abax(modm)当m为质数时可以用快速幂求解但是当m不为质数时快速幂算法失效,此时考虑用扩展欧几里得算法求解。由逆元定义ax1(modm)ax+my=1,利用扩展欧几里得算法求解即可。
  • 代码实现
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        LL a,p;
        scanf("%lld %lld",&a,&p);
        LL x,y;
        int d=exgcd(a,p,x,y);
        if(a%p==0)
        {
            puts("impossible");
            continue;
        }
        printf("%lld\n",(x%p+p)%p);
    }
    return 0;
    
}
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