快速幂

快速幂

• 算法作用
  快速幂可以用来优化\(a^b\%p\)的计算，暴力做法计算n个\(a^b\%p\)的时间复杂度没o(nb),而快速幂可以将时间复杂度降到o(nlogn)。
  -算法内容
  先初始化\(a^{2^0},a^{2^1},a^{2^2}\dots a^{2^{logb}}\)这b个数，由算术基本定理\(a^b\)可以用这b个数的组合的乘积来表示，其实就是将b用2进制表示，然后只需要对\(a^{x_1},a^{x_2},a^{x_3}\dots a^{x_{logb}}\)这logb个数求模再相乘即可^[1]。
  -算法实现
  给定n组a,b,p，求每个组的\(a^b\%p\)的结果

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL quick_mod(int a,int b,int p)
{
    LL res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            res=res*a%p;
        }
        
        b>>=1;
        a=(LL)a*a%p;//这里取不取余其实对结果没影响但是可能会让数据过大爆int
    }
    return res;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a,b,p;
        scanf("%d %d %d",&a,&b,&p);
        cout<<quick_mod(a,b,p)<<endl;
    }
    return 0;
}

• 代码细节
  &的使用^[2]

\[(a\ast b)\%c=(a\%c*b\%c)\%c\\ (a+b)\%c=(a\%c+b\%c)\%c \]

快速幂的应用

-逆元的定义
若\(\frac{a}{b}\equiv a*x(mod\enspace m)\),则称x为b的逆元记作\(b^{-1}\),b存在逆元的充要条件是b和m互质，特殊的，当m为质数时有\(b^{m-2}\)为b的逆元
-关于逆元的数学推导和证明
由\(\frac{a}{b}\equiv a*x(mod\enspace m)\Longleftrightarrow a\equiv a*b*x(mod\enspace m)\Longleftrightarrow b*x\equiv 1(mod\enspace m)\)即\(b*b^{-1}\equiv1(mod\enspace m)\)也由此可以看出如果b和m不互质的话这个同余式不可能成立，再由费马小定理\(b^{p-1}\equiv1(mod\enspace p)\),所以当m为质数时有\(b^{m-2}\equiv1(mod\enspace m)\Longleftrightarrow b*b^{m-2}\equiv1(mod\enspace m)\)所以当m为质数时\(b^{m-2}\)是b的逆元。所以要想求b的在\(0\sim m-1\)内的逆元就等价于求\(b^{m-2}\%m\)，此时就可以使用快速幂求解。当m不是质数时可使用扩展欧几里得算法求逆元，详细看欧几里得算法篇。

• 代码实现
  给定n组a,p，p为质数求出a模p的逆元，如果不存在就输出"impossible"

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL qmi(int a,int b,int p)
{
    LL res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            res=res*a%p;
        }
        b>>=1;
        a=(LL)a*a%p;//这里一定要注意防止爆int
    }
    return res;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a,p;
        scanf("%d %d",&a,&p);
        if(a%p==0)
        {
           puts("impossible");
        }
        else
        {
            printf("%d\n",qmi(a,p-2,p));
        }
    }
    return 0;
}

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1. 几个重要的取模公式： ↩︎

2. &表示‘与’，即两个都为1才是1,其余都是0,一个数&上1可以检查这个数的二进制最后一位是不是1，因为1的二进制码的最后一位是1其余全为0 ，&上另外一个数后如果这个数最后一位是1得到1，最后一位是0得到0。
   &还可判断一个数的奇偶，一个数的奇偶性只由二进制的最后一位确定，因为前面位数都是\(2^i\)只会是偶数。 ↩︎