欧拉定理

欧拉定理

• 定理内容
  对于两个互质的整数a,n有$a^{\phi (n)}\equiv 1(modn)$ 这里的$\phi (n)$指的是欧拉函数。
  -数学证明
  由$\phi (n)$可知从1到n与n互质的有$m_1,m_2,m_3\dots m_{\phi (n)}$。全部乘以a得$a{m}_1,a{m}_2,a{m}_3\dots a{m}_{\phi (n)}$,由起始条件a与n互质可得$a{m}_i$与n互质，且$(a{m}_i)$%n也与n互质^[1]，所以$$\begin{gathered} a{m}_1\ast a{m}_2\ast a{m}_3\cdots \ast a{m}_{\phi (n)}\equiv m_1\ast m_2\ast m_3\ast \cdots \ast m_{\phi (n)}(modn) \\ ⟺a^{\phi (n)}\equiv 1(modn) \end{gathered}$$ 证毕。
• 费马小定理（欧拉定理的特殊情况）
  特别的，当n为质数时，有$a^{\phi (n)}\equiv 1(modn)⟺a^{n-1}\equiv 1(modn)$,因为如果n为质数那么从1到n与n互质的一共有n-1个。

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1. 有结论两个数互质则一个数向另一个数取余后的数依旧与另一个数互质 证明如下：
   已知m与n互质，假设m%n与n不互质，令a=m%n,则必定存在一个数d>1:a=jd,n=kd,而m=pn+a,代入a,n得，m=pkd+jd=(pk+j)d,很明显m与n不是互质的有公因子d，与前提矛盾所以m%n与n互质，证毕。 ↩︎