欧拉函数证明与代码实现

欧拉函数

定义
对于正整数n小于等于n的数中与n互质的数的个数记为 $φ (n)$ ,即为欧拉函数
欧拉公式
由算数基本定理任意一个正整数都可以写作n= $p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \dots p_{k}^{a^{k}}$
那么 $φ (n) = n \prod_{i = 1}^{k} (1 - \frac{1}{p_{i}})$
数学证明
首先 $φ (n)$ 是一个积性函数
即 $φ (a_{1} * a_{2}) = φ (a_{1}) * φ (a_{2})$ 这个的证明这里不作叙述可看这个链接积性证明
然后从1到一个数 $p_{n}^{a_{n}}$ 一共有 $p_{n}^{a_{n}}$ 个数其中与其不互质的有 $p_{n}, 2 p_{n}, 3 p_{n} \dots p_{n}^{a_{n}} (p_{n}^{a_{n - 1}} * p_{n})$ 一共有 $p_{n}^{a_{n - 1}}$ 个数，所以与其互质的一共有 $p_{n}^{a_{n}} (1 - \frac{1}{p_{n}}) 个$
所以有：

φ (n) = φ (p_{1}^{a_{1}}) * φ (p_{2}^{a_{2}}) \dots φ (p_{k}^{a_{k}}) = p_{1}^{a_{1}} (1 - \frac{1}{p_{1}}) * p_{2}^{a_{2}} (1 - \frac{1}{p_{2}}) \dots * p_{k}^{a_{k}} = n * \prod_{i = 1}^{k} (1 - \frac{1}{p_{i}})

代码实现

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a;
        scanf("%d",&a);
        int res=a;
        for(int i=2;i<=a/i;i++)
        {
            if(a%i==0)
            {
                res=res/i*(i-1);//注意先除再乘防止爆int
            }
            while(a%i==0)
            {
                a/=i;
            }
        }
        if(a>1)
        {
            res=res/a*(a-1);
        }
        printf("%d\n",res);
    }
    
    
    return 0;
}

代码细节
注意res=res/i*(i-1)这里要先除再乘防止爆int 可能会有疑问我们推导的公式中 $1 - \frac{1}{p_{i}}$ 是一个小数但是c++里/是向下取整的，那么这里会不会有问题呢?其实是完全没问题的我们可以看到只有当a%i==0时我们才会进行res的操作并且每次循环中a至少都和res除i除的一样多也就是说只要a中有约数 i 那么res中也一定有 i 一定不会出现小数。