[专题总结]初级图论
最短路
pair<int, int> 不要在开 long long 的时候使用，甚至不不 UBsanitizer
差分约束
普通差分约束
给定若干个变量 \(x_i\) ， 和若干个限制 \(x_i-x_j \leq c\) ，要求一组合法解。
当然，可能还有 \(x_i-x_j \geq c\) 等，总之，我们把所有限制都写成 $x_i + c\leq x_j $ 的形式， \(c\) 可正可负。
然后发现这个满足三角不等式的形式，在 \(i,j\) 之间连一条长度为 \(c\) 的边，从 \(0\) 开始向所有点连一条长度为 \(0\) 的边，这样可以保证图的联通，然后从 \(0\) 跑一边最短路， \(dis_i\) 就是 \(x_i\)。
当然有可能出现负环，这样代表无解，判断负环可以看最短路的长度，如果最短路的长度 \(\geq n\) , 那么肯定是出现了负环，但是在这题里面我们加了一个全新的点 \(0\) , 所以要判最短路长度是否 \(\geq n + 1\), code。
字典序的扩展
在差分约束中，如果我们添加了虚点 \(0\) 向所有点连边，假如说要求所有的权 \(\leq 0\), 可以顺便求解差分约束系统的字典许最大值。
结论：差分约束求出的恰好是所有变量的最大值，也就是字典序最大的情况。
证明：考虑最短路的更新一定是 \(dis_y= dis_x+w(x,y)\), 所以所有变量都是取得等号。
字典序最小解直接把所有该建的边反过来求最大字典序，再对答案取相反数即可 （本质是把所有变量取反。
连通性（Tarjan）
有向图缩点
\(i,j\) 能相互到达，就说 \(i,j\) 是强连通的，强连通具有传递性，所以把每个极大的强连通图叫强连通分量。
把一张有向图里面所有的强连通分量缩成一个点，只保留各个缩完的点之间的边，这张图变成了一个 DAG。
Tarjan 算法的核心在于定义了一个找到 SCC 的充要条件。
定义 \(\rm low_x\) 代表以下节点 \(\rm dfn\) 的最小值 ： \(x\) 子树内的点 / \(x\) 子树内指向的点。
发现， \(x\) 子树内的一些点形成 SCC, 就是这个子树的点无法和 \(x\) 子树外的点强连通， 也就是 \(\rm dfn_x == low_x\)
然后就是怎么转移 \(\rm low_x\) 的问题， 如果是 \(x\) 在 \(dfs\) 树上的儿子，那么直接 \(\rm low\) 和他取 \(\min\), 否则，他是 \(x\) 指向的点，和 \(\rm dfn\) 取 \(\min\) ，注意到必须保证这个点必须不被之前的强连通分量占据，对此，我们可以维护一个栈代表已经遍历并且不被弹出的点的集合，对于被访问过的点，判断在栈中再进行和 \(\rm dfn\) 取 \(\min\) 。
同时， Tarjan 算法还保证了一个事情：强连通分量的编号就是拓扑序的逆序，这个根据 dfs 的过程不难发现。
无向图缩点
割点：删掉这个点之后图不连通。 割边：删掉这条边之后图不连通。
和有向图一样定义 \(\rm dfn, low\), 割边的条件是 \(dfn_x<low_y\), 割点的条件是 \(dfn_x \leq low_y\), 特殊注意如果是根则需要至少两个满足，原因很显然。
割边有一个细节，就是不能让他的父亲更新它，否则判断条件永远不可能达成。
边双：边双联通分量，不存在桥，删掉任意一条边仍然联通，任意两点之间有两条 边不重复路径
点双：点双联通分量，可以存在割点，但删掉任意一个点仍然联通，是特殊的边双，任意两点之间有两条 点不重复路径
边双缩点很简单，只需要找到割边，然后不走割边极大的连通快就是边双，边双缩点之后是一个树。
点双缩点，朴素的缩点方式并不能它变成一颗树，所以我们给每个点双一个代表点，让这个代表点想点双的所有点连边，也就是形成一个菊花。
把代表点记做“方点”，原有的点记做圆点，那么所有的边都在圆点和方点之间，最后整张图是一颗树，记做“圆方树”。
这个圆方树可以在一般图上使用，在仙人掌（每条边最多在一个简单环中）， 有奇效，因为每个菊花代表一个简单环，并且这个环上的点还按顺序排列。
最重要的性质 ： 圆方树上是叶子 \(\Leftrightarrow\) 在原图中不是割点，只有割点才会被很多强连通分量包含。
圆方树中删掉一个点和原图中删掉一个点，图的联通性（传递闭包之后的邻接矩阵）相同。
\(x,y\) 之间的必经点就是圆方树上他们路径上的圆点。
总之，见到必经，联通相关的一般图问题，圆方树一个思考方向，仙人掌圆方树是首选。
