[专题总结]数据结构 - 离线/根号

P7882 [Ynoi2006] rsrams

很套路的一道根号题。

先考虑一个莫队，枚举一个颜色计算他的贡献，加入一个点就是他和之前所有的贡献。

如果把这个颜色设成 $1$, 不是这个颜色设成 $-1$, 条件就是 $pre_r > pre_{l-1}$ 。

查询这个区间内有多少 $pre_r > pre_{l-1}$ ，由于变化是 $\pm 1$ , 所以我们这直在莫队的的时候维护一个桶和指针就可以 $O(1)$ 转移。

莫队的时候开桶维护是基本操作，别脑抽。

现在枚举颜色是很炸的，但是如果我们可以 $O( \text{c=颜色点数})$ 算出这个颜色的贡献，是不是就有希望了呢？

由于我们找的是前缀和为 $0$ 的点数，我们一共有 $c$ 个 $+1$ , 那么最多有 $c$ 个位置可以形成区间和是 $0$ 。

所以我们把关键点全部拿出来，再把询问附在这些区间上，那么做一次是 $m+c\sqrt m$ 的。

这个时候考虑根号分治，那么 $> \sqrt m$ 的可以直接用上面的暴力去做。

$\leq \sqrt m$ 的，由于数一共有 $ \sqrt m$ 个，那么区间长度不超过 $2*\sqrt m$, 所以我们把所有的区间拿出来看合不合法，合法我们就把包含他的矩形答案加 $1$ .

由于一共有 $n\sqrt m$ 个区域， $m$ 个查询，所以用 $O(1)-O(\sqrt n)$ 的分块去扫描线解决问题，复杂度单根号。

首先考虑这个 nt 的 dp，现在就是去优化他，变成了一个正宗的数据结构问题。

先考虑一个朴素的分块做法，每个块开一个树状数组和一个偏移量，暴力的去修改查询。

观察一下关键性质：修改只有加一减一，我们在每个块上开一个桶，在桶上维护一个指针。

整块修改直接暴力去挪指针，最多变化 $O(1)$ ，散块修改直接暴力更改一下桶就行了。

这两道题可以说是很水的，但是自己就是没有去掌握 “开桶来解决变化量很小” 这个问题。

数据范围指引根号，跳跃长度最多为 $O(n)$ ，考虑根号分治，小于根号预处理，大于根号倍增跳，最多跳 $\sqrt{n}$ 次。

当然，大于根号的可以优化成 $O(\sqrt n)$，类似光速幂的思想，每个点处理出来 $\leq \sqrt n$ 的所有和 $> \sqrt{n}$ 的每 $\sqrt{n}$ 一个点值，即可达到 $O(1)$ 跳跃。

光速幂思想优化倍增，是去 log 的常用手段。

posted @ 2022-05-20 07:05 Soresen 阅读(93) 评论(0) 编辑收藏举报

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