[专题总结] DP记录 II
Tree Dp
Range Dp
扩展矩阵乘-ddp
扩展矩阵乘是把矩阵乘法的加法，乘法重新定义，由于需要结合律，唯一需要满足的就是 “乘法” 对 "加法" 有分配率。
常用在求最值的 dp 中， 把乘法定义成 +， 把加法定义成 \(\min, \max\) ，单位矩阵是主对角线全是 \(0\)，其他地方全是 \(\pm \infty\)。
NOI模拟7.22 C
我们首先考虑 \(k=1\) 怎么做，求 \(s \rightarrow t\) 经过 \(a\) 条边的最短路，定义 \(dp_{s,t,x}\) 代表 \(s \rightarrow t\) 经过 \(x\) 条边的最短路，转移类似 Floyd 枚举中转点从 \(dp_{s,u,k}+dp_{u,t,x-k}\) 来更新，发现更新类似矩阵的形式。
我们把最外面一层拿出来，那么暴力转移就可以每次矩阵 \((+,\min)\) 乘邻接矩阵，然后可以快速幂优化。
对于矩阵加速题，处理多询问的套路就是处理出来 \(2^k\) 的值，然后每次询问向量乘矩阵。
现在再考虑 \(k\) 怎么办，我们让矩阵的一个元素是 \(k\) 个值分别代表前 \(k\) 小 (矩阵的每个地方不一定填一个 int, 不要思维定式，填的元素只需要保证可以转移就行)。
我们枚举 \(u\) 之后得到 \(A_{[1,n],[1,15]},B_{[1,n],[1,15]}\) ，我们的目的是找到前 \(k\) 小的 \(A_{u,j}+B_{u,k}\)
普通的矩阵乘得到一个元素的值需要花费 \(O(n)\) 复杂度，这个东西是二维状态极值问题，每维上分别有单调性，直接套用超级钢琴的做法，配合线性建堆，可以做到 \(O(n+klogk)\) 的复杂度。
具体的，初始我们把 \(\{A_{u,0}+B_{u,0},u, 0, 0\}\) 这个四元组入堆，关键字是第一维，分别代表最短路值，点，A的下标，B的下标。
取出堆顶的时候我们把第三维加一入堆，为了保证到达每个点只有一次，我们可以让每个店都被字典序最小的路径走到，当且仅当第三维是 \(0\) 的时候我们把第四维加一入堆，这样我们最多取出 \(k\) 个元素，复杂度 \(klogk\) 。
Dp 套 Dp
省选模拟15 A
题目给定了一些未知位置，如果对于一个已知所有位置的串，我们可以去找性质快速判定是否合法，那么一般是根据性质直接 \(DP\) 计数，但是如果我们通过 \(DP\) 才能判断其是否合法，那么一般就需要使用 \(DP\) 套 \(DP\) 进行计数。
先不扯那么多了，考虑如何判断一个已知串是否合法。
发现一个性质，每次只会改变一个前缀，我们可以设计 \(dp_{i,0/1}\) 代表长为 \(i\) 的前缀，能不能变成 \(0/1\) ,最后检查 \(dp_{n,1}\) 就是答案。
转移很简单，枚举上一次是在哪里合并的，也是 DP 的经典套路：枚举最后一次操作，变成独立的子问题，这个简单dp不是重点。
发现上面的 dp 是每次划分一段一段的，转移是 \(O(n)\) 的。这种 DP 有经典的优化手段：枚举当前是否划分一段，即可做到 \(O(1)\) 转移
暴力的想法就是记录上一个划分点 : \(f_{i,j,0/1}\) 代表 当前在 \(i\) ,上一次在 \(j\) 划分， \(j\) 之前被压缩成了 \(0/1\) ，是否可行。
转移枚举当前点划不划分，转移到 \(f_{i+1,i,balabal},f_{i+1,j,0/1}\) 。
发现虽然转移 \(O(1)\) 了，但是状态增加了，考虑寻找性质压缩状态。
不管上一次是在哪里划分的， \([j::i]\) 的字符串最多形成 \(4\) 种自动机。
\(0 -> 0, 0 -> 1, 1 -> 0, 1 -> 1\) ,那我们记录前 \(i\) 个点，每种自动机是否存在即可，最后检查 \(f_{n,{a_n -> 1}}\) 是否存在，转移考虑一次转移两个字符，枚举划不划分即可。
现在已经可以判断合法了，考虑计数，发现前 \(n\) 个点，我们唯一能区分不同方案的就是他当前四种自动机是否存在，那么就开 \(2^4\) 记录一下每种自动机的存在状态，和上面一样去转移即可。
DP 套 DP，内层 DP 用来判断合法，如果内层 DP 数组的值相同，那么两种方案就等价，根据这个，把内层DP的值记录到状态里面，统计每种内层数组的方案数即可。
