数论（待进阶）
1.欧几里德算法
作用：对于给定的a,b，求a,b的最大公约数gcd(a,b)
要求：无
证明：我们先想证明\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)
我们先证明\(gcd(a,b)=gcd(a-xb)\)
这样，当\(x=1\)时，他就是辗转相除法\(gcd(a,b)=gcd(b,a-b)\)
当\(x=\frac{a}{b}\)，且除法向下取整，则此时\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)
所以只要证明出来\(gcd(a,b)=gcd(a-xb)\)对于任意的\(x\)成立，我们就可以证明欧几里德算法成立
真正的证明
设\(gcd(a,b)=c,gcd(b,a-xb)=d\)
根据性质，可以写出
\(\because c|a,c|b\)
\(\therefore c|(a-xb)\)
\(\therefore c|gcd(b,a-xb)\Leftrightarrow c|d\)
\(\because d|b \therefore d|(xb)\)
又\(\because d|(a-xb) \ \therefore d|a\)
\(\therefore d|gcd(a,b)\Leftrightarrow d|c\)
\(\because d|c\ \&\ c|d\)
\(\therefore c==d\)
所以，我们可以证明欧几里德算法成立
代码：
inline int gcd( int x , int y ){
return y == 0 ? x : gcd( y , x % y ) ;
}
2.扩展欧几里德
作用：解出来二元一次方程组ax+by=c
要求：c%gcd(a,b)=0
实质上，扩展欧几里德解的是\(a*x+y*b=gcd(x,y)\)，解出来的\(x,y\)是绝对值最小的解，有可能是负数。
那么，对于任意已知\(a,b,c\)的
我们都可以通过扩展欧几里德来求解，我们可以考虑先给全部式子都乘上 \(\large\frac{gcd(a,b)}{c}\)
那么，式子就会变成
这样我们发现其实对于a,b这个式子就是一个扩展欧几里德了，只不过我们解出来的\(x_0,y_0\)分别是\(x_0*\frac{gcd(a,b)}{c},y_0*\frac{gcd(a,b)}{c}\)，我们只需要把求出来的\(x,y\)都乘上\(\frac{c}{gcd(a,b)}\)就可以了
但是我们发现\(\frac{c}{gcd(a,b)}\)是整数当且仅当\(c \% gcd(a,b)==0\)，这也就是上文中要求的由来
但是，我们还可以发现，其实这个方程肯定有无限组解，我们只求出来了一组特殊解，怎么推广到全部呢？
我们可以把\(a*x+b*y\)写成
那么，我们求出来的\(x,y\)都可以变成\((x-k*b),(y+k*a)\)
所以现在我们只需要考虑\(k\)的取值范围就行了
但是观察了许久，发现并没有什么范围
于是我们想，如果能让\(k\)取遍他的定义域的同时求出所有解，那么这个\(k\)一定是唯一的，且不能再小，再小就会得到不正确的解，再大就不能得到所有解
我们让\(k\)最小不就行了？
我们发现，我们只需要满足\(k*a\)和\(k*b\)都是整数，其他方面没有对\(k\)有过多要求
所以\(k\)的最小值就得到了，我们得\(k=\frac {1}{gcd(a,b)}*t \ |t\in Z\)
易得t取遍z的时候，所有解集就得到了
所以
对于
还有一个事情，就是最小正数解，我们只需要把\(x\)搞成\(((x\%b)+b)\%b\)就可以了，其实也就是\(x<0\)的时候\(x+=\frac{b}{gcd(a,b)}\)
说了这么多，忘记证明扩展欧几里德的原理了
为什么我们可以求出\(x,y\)?
根据欧几里德算法，我们知道
我们还知道，当\(b=0\)时，\(a=gcd\)，算法停止
所以我们可以得到\(a*1+b*0=gcd\)
得到一个状态后，我们只需要得到如何转移状态即可
由于
又由于\(a\%b==a-(a/b)*b\),这里除法向下取整
我们展开模运算和gcd，可以得到
代码
inline int exgcd( int a , int b , int & x , int & y ){
if( b == 0 ){
x = 1 , y = 0 ;
return a ;
} int ans = exgcd( b , a % b , x , y ) ;
int t = x ; x = y ; y = t - y * ( a / b ) ;
return ans ;
}
学会这个东西，有什么用处呢？其实最大的用处是求乘法逆元
3.乘法逆元
用处：解决\(（a/b）\%c \not=((a\%c)/(b\%c)\)的问题
我们知道\(（a/b）\%c \not=((a\%c)/(b\%c)\)，所以，如果\(a/b\)很大的话，我们如何计算呢？
这里就要引入一个乘法逆元,我们可以找到一个数\(x\),使得\(（a/b）\%c =((a\%c)*(x\%c))\%c\)
这个\(x\)就是\(b\)关于\(c\)的乘法逆元
\(x\)的计算方法是\(x*b≡1(mod\ c)\),由于\(b,c\)已知，我们只需要用扩展欧几里德解\(x*b+t*c=1\)
得到一个\(x\)，把\(x\)变成最小正整数解就可以了
在这种计算方法下，要求\(gcd(b,c)\%1=0\),也就是\(gcd(b,c)=1\)
还有一个求法，费马小定理\(x=b^{c-2}\),当\(p\)是质数的时候成立，需要打一个快速幂。
关于这个有一个技巧，对于指数取模：\(link\)
这两种复杂度都是\(log(n)\)，都用于求一个数的乘法逆元，扩欧的要求更少。
如果一道题我们需要求\(1~n\)的乘法逆元，那么我们的复杂度是\(nlog(n)\)，但是其实还有一种更快的方法
证明以后再说，直接给代码
int inv [N] ;
inv [1] = 1 ;
for( int i = 2 ; i <= n ; i ++ )//i mod p 的逆元
inv [i] = ( p - （ p / i ） ) * inv [p % i] % p ;
这个还可以预处理出来阶乘的逆元，只需要处理出来逆元都乘起来就是阶乘的逆元了
4.欧拉函数
用处：求各种--素数有多少个的问题
\(\varphi(n)\)表示\(1～n\)中有多少个素数
性质：
- 如果\(n\)是质数，那么\(\varphi(n)\)等于\(n-1\)
证明：根据定义，如果\(n\)是质数，那么\(1～n\)中所有数都和\(n\)互质，所以\(\varphi(n) = n-1\)
- \(\forall n > 1\) , \(1 ～ n\)中所有与\(n\)互质的数的和为\(n*\varphi(n)/2\)
证明：我们可以知道从\(1～n\)，如果\(x\)和\(n\)互质，那么\(n-x\)也和\(n\)互质，所以他们的和是\(n\)，又因为有\(\varphi(n)/2\)对质数，所以易知他们的和为\(n*\varphi(n)/2\)
- 如果\(a,b\)互质，那么\(\varphi(a*b)=\varphi(a)*\varphi(b)\)
这个东西其实就是欧拉函数的积性，主要用来计算欧拉函数
\(n=\prod\nolimits_{i=1}^{n}p_{i}^{c_i}\)
根据积性
\(\varphi(n)=\prod\nolimits_{i=1}^{n}\varphi(p_{i}^{c_i})\)
我们又知道\(p\)是素数
所以，如果\(p|n\)并且\(p^2|n\),那么\(\varphi(n)=\varphi(n/p)*p\)
这个直接根据积性展开，其他地方二者都一样，就是\(p\)的指数差了\(1\),直接做商即可
\(\varphi(p^k)=\varphi(p^{k-1})*p=\varphi(p)*(p^{k-1})=(p-1)*p^{k-1}=p^k-p^{k-1}=p^k*(1-\frac{1}{p})\)
所以，我们把欧拉函数展开
\(\varphi(n)=\prod\nolimits_{p|n}p^k*(1-\frac{1}{p})\)
又因为\(\prod\nolimits_{p|n}p^{c_i}=n\)
所以把\(p^k\)提出来
\(\varphi(n)=n*\prod\nolimits_{p|n}*(1-\frac{1}{p})\)
我们就可以根据这个式子，在分解质因数的时候计算出欧拉函数
inline int oula( int x ){
int ans = x ;
for( int i = 2 ; i <= sqrt( x ) ; i ++ ){
if( num % i == 0 ){
ans /= i ; ans *= i - 1 ;
while( x % i == 0 ) x /= i ;
}
} if( x > 1 ) ans /= x , ans *= x - 1 ;
return ans ;
}
但是如果我们想求\(1～n\)中所有数的欧拉函数，这个算法需要\(nlog(n)\)的时间复杂度，跟求逆元一样，我们有线性算法，就是在线性筛的基础上添加一些
我们需要找到一些递推的式子
如果\(p\)是质数\(\varphi(p) = p -1\)
如果\(p\)不是质数，我们由于线性筛的特点知道他是由一个素数\(q\)和一个数\(r\)相乘的时候被筛掉的
-
如果\(r\)和\(q\)互质，那么\(\varphi(p) = \varphi(q)*\varphi(r)\)
-
如果\(r\)不和\(q\)互质，我们知道\(r\)一定是\(q\)的倍数，且\(r*q=p\),那么\(\varphi(p)=\varphi(r)*q\)
2的证明：
我们写出\(\varphi(p)=p*\prod\nolimits_{ps|p}(1-\frac{1}{ps})\)
再写出\(\varphi(r)=r*\prod\nolimits_{ps|r}(1-\frac{1}{ps})\)
两者做商就行了。
int phi[N] ;
int prime [N] ;
bool fg [N] ;
int cnt ;
void oula( int n ){
phi [1] = 1 ;
for( int i = 2 ; i <= n ; i ++ ){
if( fg [i] ) prime [++ cnt] = i , phi [i] = i - 1 ;
for( int j = 1 ; j <= cnt && i * prime [j] <= n ; j ++ ){
fg [prime [j]*i] = 1 ;
if( i % prime [j] ){
phi [i * prime [j]] = phi [i] * prime [j] ;
break ;
}
else phi [i * prime [j]] = phi [i] * phi [prime [j]] ;
}
}
}
欧拉函数的求法到此结束了，欧拉函数还有一个跟\(gcd\)的关系，挺常用的
我们已经知道\(gcd(x,n)=g,x<=n\),且\(n,g\)已知，则\(x\)的个数就是\(\varphi(\frac{n}{g})\)
证明：
假设\(x=q*g,n=p*g\),则\(p,q\)一定互质,由于\(x<=n\)，那么\(q<=p\)，其实就是求有多少小于等于\(p\)且与\(p\)互质的数，答案就是\(\varphi(p)\),因为\(n=p*g\)，所以\(p=\frac{n}{g}\).
5.欧拉定理
如果\(a,n\)互质
\(a^{\varphi(n)}\)和\(1\)关于模\(n\)同余
证明见蓝书\(P149\)
