【初等数论】卢卡斯定理的证明
Lucas定理
对于质数\(p\)，有
\(\begin{equation} \binom{n}{m} \end{equation}\equiv\binom{n\bmod p}{m\bmod p}\cdot\binom{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor}{\lfloor \frac{m}{p}\rfloor}\pmod{p}\)
该定理主要用于对大组合数取模。
引理：
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二项式定理
\((a + b)^{n}= \sum_{i=0}^{n}C_n^ra^rb^{n-r}\)
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费马小定理
对于质数\(p\)，\((1+x)^p \equiv (1+x^p)\pmod{p}\)
证明过程：
令\(n = sp+q,m=tp+r\)，其中\(s = \lfloor \frac{n}{p}\rfloor,t = \lfloor \frac{m}{p}\rfloor\)
考虑二项式\((1+x)^n\)的同余变换：
\((1+x)^n = (1+x)^{sp} \cdot (1+x)^q\)
\(=\lbrack (1+x)^p\rbrack^s\cdot(1+x)^q\)
\(\equiv(1+x^p)^s\cdot (1+x)^q \pmod{p}\)（费马小定理）
\(\equiv\sum_{i=0}^{s}\binom{s}{i}x^{pi}\cdot\sum_{j=0}^q \binom{q}{j}x^j\)（二项式定理）
（右边）
同时，\((1+x)^n=(1+x)^{sp+q}=\sum_{k=0}^{sp+q}\binom{sp+q}{k}x^k\)（左边）
此时对比两式中某一项\(x^{tp+r}\)的系数。
左边：\(\binom{sp + q}{tp+r}x^{tp+r}\)
右边：\(\binom{s}{t}x^{tp}\cdot\binom{q}{r}x^r\)
那么 \(\binom{n}{m} \equiv \binom{s}{t}\cdot\binom{q}{r}\pmod{p}\)
证毕。
