动态规划解题的一般思路

递归到动规的一般转换方法

递归函数有N个参数就定义N维数组，数组的下标就是参数的取值范围，元素的值就是递归函数的返回值，

这样就可以从边界值开始逐步填充数组，相当于计算递归函数的逆过程。

动规解题的一般思路

1.将原问题分解为子问题

　　把原问题分解为若干个子问题，子问题和原问题形式相同或者类似，只不过规模变小了，子问题都解决了，原问题即解决。

　　子问题的解一旦求出，便将其保存，所有每个子问题只需要求解一次。

2.确定状态

　　在用动规解题时，我们往往将和子问题相关的各个变量的一组取值，称之为一个“状态”。

一个“状态”对应一个或者多个子问题，所谓某个“状态”下的值，就是这个“状态”对应的子问题的解。

　　所有“状态”的集合，构成问题的“状态空间”。“状态空间”的大小，与用动态规划解决问题的时间复杂

度直接相关。 在数字三角形的例子里，一共有N×(N+1)/2个数字，所以这个问题的状态空间里一共就有N×(N+1)/2个状态。

    整个问题的时间复杂度是状态数目乘以计算每个状态所需时间。在数字三角形里每个“状态”只需要经过一次，

且在每个状态上作计算所花的时间都是和N无关的常数。

3.确定一些初始状态（边界状态）的值

    以“数字三角形”为例，初始状态就是底边数字，值就是底边数字值。

4. 确定状态转移方程

     定义出什么是“状态”，以及在该“状态”下的“值”后，就要找出不同的状态之间如何迁移――即如何

从一个或多个“值”已知的 “状态”，求出另一个“状态”的“值”(递推型)。状态的迁移可以用递推公式表示，

此递推公式也可被称作“状态转移方程”。

    数字三角形的状态转移方程:

 

 

能用动规解决的问题的特点

    1) 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的 子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结 构性质。

    2) 无后效性。当前的若干个状态值一旦确定，则此后过程的演变就只和这若干个状态的值有关，和之前是采取哪种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态，没有关系。

经典例题：

1.数字三角形

2.最长上升子序列

3.最长公共子序列

4.最佳加法表达式