置换环

1 作用

置换环是用来求解数组排序元素间所需最小交换次数这类问题。

置换环思想:置换环将每个元素指向其排序后应在的位置,最终首位相连形成一个环(若数字在最终位置,则其自身成环),可知元素之间的交换只会在同一个环内进行,而每个环内的最小交换次数为

1

图例:

image

图中环(4, 0, 1, 2, 3)转化为正常顺序就需要4步。

我们将所有环的交换次数加起来得到

ans=in(cyclesizei1)

其中cyclesizei环上元素数量

最后化简公式得,排序所需最小交换次数为数组长度-环的个数

图例:
image
其中环数为3数组长度为6,所以最小交换次数为3

2 代码

代码通过计算环上元素数量 - 1实现:

//置换环
pair<int, int> arrpos[len];//一维记录数值,一维记录位置
for(int i = 0;i < len;i++){
    arrpos[i].first = tmp[i];
    arrpos[i].second = i;
}
//跑次数
sort(arrpos,arrpos + len);
vector<int> vis(len,0);
for(int i = 0;i < len;i++){
    int cycelsize = 0;
    //自环或者访问过
    if(vis[i] || arrpos[i].second == i) continue;
    int j = i;
    while(!vis[j]){
        vis[j] = 1;
        j = arrpos[j].second;
        cycelsize += 1;
    }
    if(cycelsize > 0){
        ans += (cycelsize - 1);
    }
}

3 例题

逐层排序二叉树所需的最少操作数目

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