【学习笔记】狄利克雷卷积

狄利克雷卷积

数论函数：

陪域：包含值域的任意集合。

数论函数：一类定义域是正整数，陪域为复数的函数。

设 \(f\)，\(g\) 为数论函数：
加法：\((f + g)(x) = f(x) + g(x)\)
数乘：\((xf)(n) = x \times f(n)\)

积性函数：对于函数 \(f(n)\)，存在任意互质的数 \(x\)，\(y\)，使得 \(x \times y = n\)，并且 \(f(n) = f(x) \times f(y)\)，那么函数 \(f(n)\) 为积性函数。

常见的积性函数：

1. \(I(n) = 1 \text{ } 恒等函数\)
2. \(id(i) = i \text{ } 单位函数\)
3. \(\varphi(i) 欧拉函数\)
4. \(\mu(i) 莫比乌斯函数\)
5. \(\sigma(i) \text{ } i的约数的和\)
6. \(\tau(i) \text{ } i 的约数的个数和\)
7. \(\epsilon(i) = [i = 1]\)

完全积性函数：对于函数 \(f(n)\)，存在任意数 \(x\)，\(y\) 使得 \(x \times y = n\) 并且 \(f(n) = f(x) \times f(y)\)，那么 \(f(n)\) 被称为完全积性函数。

狄利克雷卷积：

定义 \(f\)，\(g\) 为数论函数，则它们的狄利克雷卷积可以表示为 \(f * g\)，设 \(h = f * g\)，有：

\[h(n) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d}) \]

当 \(f(n)\) 和 \(g(n)\) 都是积性函数时，\(h(n)\) 也为积性函数。

证明：

设 \(a \times b = n\)，且 \(\gcd(a, b) = 1\)

\[\begin{align*} h(n) & = \sum_{d_1 | a，d_2 | b} f(d_1 d_2)g(\frac{a}{d_1} \frac{b}{d_2})\\ & = \sum_{d_1 | a，d_2 | b} f(d_1)f(d_2)g(\frac{a}{d_1})g(\frac{b}{d_2}) \\ & = \sum_{d_1 | a} f(d_1)g(\frac{a}{d_1}) \sum_{d_2 | b} f(d_2)g(\frac{b}{d_2}) \\ & = h(a) \times h(b) \end{align*} \]

证毕。

运算法则：

交换律：\(f * g = g * f\)。
结合律：\((f * g) * h = f * (g * h)\)。
分配率：\(f * (g + h) = f * g + f * h = (g + h) * f\)。

性质：

单位元：\(\epsilon\)，即 \(f * \epsilon = f\)

• \(\mu * I = \epsilon\)
• \(\varphi * I = id\)
• \(\mu * id = \varphi\)