【学习笔记】狄利克雷卷积

狄利克雷卷积

数论函数：

陪域：包含值域的任意集合。

数论函数：一类定义域是正整数，陪域为复数的函数。

设 $f$，$g$ 为数论函数：
加法：$(f + g)(x) = f(x) + g(x)$
数乘：$(xf)(n) = x \times f(n)$

积性函数：对于函数 $f(n)$，存在任意互质的数 $x$，$y$，使得 $x \times y = n$，并且 $f(n) = f(x) \times f(y)$，那么函数 $f(n)$ 为积性函数。

常见的积性函数：

1. $I(n) = 1 \text{ } 恒等函数$
2. $id(i) = i \text{ } 单位函数$
3. $\varphi(i) 欧拉函数$
4. $\mu(i) 莫比乌斯函数$
5. $\sigma(i) \text{ } i的约数的和$
6. $\tau(i) \text{ } i 的约数的个数和$
7. $\epsilon(i) = [i = 1]$

完全积性函数：对于函数 $f(n)$，存在任意数 $x$，$y$ 使得 $x \times y = n$ 并且 $f(n) = f(x) \times f(y)$，那么 $f(n)$ 被称为完全积性函数。

狄利克雷卷积：

定义 $f$，$g$ 为数论函数，则它们的狄利克雷卷积可以表示为 $f * g$，设 $h = f * g$，有：

$$h(n) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d})$$

当 $f(n)$ 和 $g(n)$ 都是积性函数时，$h(n)$ 也为积性函数。

证明：

设 $a \times b = n$，且 $\gcd(a, b) = 1$

$$\begin{align*} h(n) & = \sum_{d_1 | a，d_2 | b} f(d_1 d_2)g(\frac{a}{d_1} \frac{b}{d_2})\\ & = \sum_{d_1 | a，d_2 | b} f(d_1)f(d_2)g(\frac{a}{d_1})g(\frac{b}{d_2}) \\ & = \sum_{d_1 | a} f(d_1)g(\frac{a}{d_1}) \sum_{d_2 | b} f(d_2)g(\frac{b}{d_2}) \\ & = h(a) \times h(b) \end{align*}$$

证毕。

运算法则：

交换律：$f * g = g * f$。
结合律：$(f * g) * h = f * (g * h)$。
分配率：$f * (g + h) = f * g + f * h = (g + h) * f$。

性质：

单位元：$\epsilon$，即 $f * \epsilon = f$

• $\mu * I = \epsilon$
• $\varphi * I = id$
• $\mu * id = \varphi$