Luogu P3674 小清新人渣的本愿 题解

P3674 小清新人渣的本愿

lxl大爷的题，%%%%%

以及CSP rp++！！！

前言：

其实是这题的名字吸引了我，毕竟人渣的本愿里的角色我觉得多多少少都沾点，哪来的小清新啊。《人渣的本愿》，又名《只要是【】子，睡过了也没问题是吗》。

解析：

一个 bitset 的小技巧（亦或是一种套路？）。

区间询问，不带修改，可以离线，并且是毒瘤lxl的题，考虑莫队。

在常规的莫队维护桶之外，用 bitset 来维护区间中的数用没有出现过，考虑查询时维护答案。

对于减法操作，若当前序列中存在

\[a - b = x \]

可移项得：

\[a = b + x \]

设一个 bitset 为 \(s\)，则有 s[b] = true 且 s[b + x] = true，则相当于 \(s \operatorname{\And}(s << x)\) 中存在一个 \(1\)。

对于加法操作，若当前序列中存在

\[a + b = x \]

我们设 \(b^{'} = N - b\)，其中 \(N\) 为一个常数，有：

\[a - b^{'} = a + b - N = x - N \]

然后我们移项可得

\[a + (N - x) = N - b \]

之后，仿照我们减法操作的处理形式：s[a] = true，同时 s[a + (N - x)] = true，即 \(s \And (s << (N - x))\) 存在一个 \(1\)。这时为了防止加减法操作相互影响，我们再开一个 bitset 维护下 \(N - b\) 出现过没有即可。

因为 bitset 不能维护负数（没有负下标），所以 \(N\) 要是一个极大值，让 \(N\) 顶着数据范围即可。

对于乘法操作，我们直接枚举，只有 \(\sqrt{n}\) 个约数，所以单次查询的复杂度是 \(O(\sqrt{n})\) 的，由于 bitset 自带 \(\frac{1}{w}\) 的常数，所以总复杂度是 \(O(\frac{nm}{w})\) 的，可以通过本题。

Code

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int MAXN = 1e5 + 10;
int n, m, siz, lim;
int num[MAXN];
int belong[MAXN], temp[MAXN], ans[MAXN];
bitset<MAXN> add, cut;

struct Question{
    int opt, l, r, x, id;
}q[MAXN];

bool cmp(const Question &a, const Question &b){
    if(belong[a.l] != belong[b.l]) return belong[a.l] < belong[b.l];
    if(belong[a.l] & 1) return a.r < b.r;
    return a.r > b.r;
}

inline int read(){
    int x = 0, f = 1;
    char c = getchar();

    while(c < '0' || c > '9'){
        if(c == '-') f = -1;
        c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9'){
        x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }
	
    return x * f;
}

void Add(int x){
    ++temp[x];
    if(temp[x] == 1){
        add[x] = 1;
        cut[lim - x] = 1;
    }	
}

void Del(int x){
    --temp[x];
    if(temp[x] == 0){
        add[x] = 0;
        cut[lim - x] = 0;
    }
}

void Modify(int l, int r){
    for(register int i = 1; i <= m; i++){
        while(l < q[i].l) Del(num[l++]);
        while(l > q[i].l) Add(num[--l]);
        while(r < q[i].r) Add(num[++r]);
        while(r > q[i].r) Del(num[r--]);
		
        int opt = q[i].opt, x = q[i].x;
        if(opt == 1) ans[q[i].id] = (add & (add << x)).any();
        else if(opt == 2) ans[q[i].id] = (cut & (add << (lim - x))).any();
        else{
            for(register int d = 1; d * d <= x; d++){
                if(x % d != 0) continue;
                if(add[d] && add[x / d]){
                    ans[q[i].id] = 1;
                    break;
                 }
            }
        }
    }
}

void init(){
    siz = sqrt(n);
    for(register int i = 1; i <= siz; i++){
        int st = n / siz * (i - 1) + 1;
        int ed = n / siz * i;
		
        for(register int j = st; j <= ed; j++)
            belong[j] = i;
    }
}

int main(){
    n = read(), m = read();
    for(register int i = 1; i <= n; i++)
        num[i] = read();
    lim = MAXN;
    
    init();
        
    for(register int i = 1; i <= m; i++){
        q[i].opt = read();
        q[i].l = read(), q[i].r = read(), q[i].x = read();
        q[i].id = i;
    }	
    sort(q + 1, q + 1 + m, cmp);
	
    Modify(1, 0);
	
    for(register int i = 1; i <= m; i++){
        if(ans[i]) puts("hana");
        else puts("bi");
    }
	
    return 0;
}